[行列解析5.6.16]系：行列の非特異性と級数による逆行列の表現

5.6.16

系 5.6.16. 行列 \(A \in M_n\) が、ある行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して \(\lVert I - A \rVert \lt 1\) を満たす場合、非特異（可逆）である。この条件が満たされるとき、逆行列は次の級数で表される：

A^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (I - A)^k

証明. \(\lVert I - A \rVert \lt 1\) のとき、級数

\sum_{k=0}^{\infty} (I - A)^k

は収束する。これはスカラー級数 \(\sum_{k=0}^{\infty} z^k\) の収束半径が 1 であることに対応する。さらに、部分和

\sum_{k=0}^{N} (I - A)^k \\ = I - (I - A)^{N+1} \to I \\ \quad (N \to \infty)

となるので、極限行列 \(C\) は \(C = A^{-1}\) である。

演習. 前の系の主張が次の命題と同値である理由を説明せよ：行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が与えられ、\(\lVert A \rVert \lt 1\) のとき、\(I - A\) は非特異であり、

(I - A)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} A^k

となることを示せ。

演習. \(A, B \in M_n\) が行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して \(\lVert BA - I \rVert \lt 1\) を満たすとき、A と B は両方とも非特異であることを示せ。ここで B は A の近似逆行列と考えてよい。

演習. 行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が \(\lVert I \rVert = 1\) を満たす場合（誘導ノルムの場合など）、\(\lVert A \rVert \lt 1\) ならば次の不等式を示せ：

\frac{1}{1 + \lVert A \rVert} \\ \le \lVert (I - A)^{-1} \rVert \\ \le \frac{1}{1 - \lVert A \rVert}

上界には不等式 \(\lVert (I - A)^{-1} \rVert \le \sum_{k=0}^{\infty} \lVert A \rVert^k\)、下界には \(\lVert B^{-1} \rVert \ge 1/\lVert B \rVert\) と三角不等式を用いる。

演習. 行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が \(\lVert I \rVert \ge 1\) を満たす場合、\(\lVert A \rVert \lt 1\) ならば次を示せ：

\frac{\lVert I \rVert}{\lVert I \rVert + \lVert A \rVert} \\ \le \lVert (I - A)^{-1} \rVert \\ \le \frac{\lVert I \rVert}{\lVert I \rVert - (\lVert I \rVert - 1)\lVert A \rVert}

演習. \(A, B \in M_n\)、A が非特異で A + B が特異であるとき、任意の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して \(\lVert B \rVert \ge 1 / \lVert A^{-1} \rVert\) となることを示せ。すなわち、非特異行列が特異行列で近似される場合には本質的な限界が存在する。ヒント：\(A + B = A(I + A^{-1}B)\)。もし \(\lVert A^{-1}B \rVert \lt 1\) なら \(I + A^{-1}B\) は非特異となる。

前の系から得られる便利で計算しやすい非特異性の判定基準の一例である。