[行列解析5.6.14]系：ゲルファンドの公式と行列級数の収束

5.6.14

系 5.6.14（ゲルファンドの公式）. \( \lVert \cdot \rVert \) を行列ノルムとし、\( A \in M_n \) とする。このとき、次が成り立つ：

\rho(A) = \lim_{k \to \infty} \lVert A^k \rVert^{1/k}

証明. まず、\(\rho(A)^k = \rho(A^k) \leq \lVert A^k \rVert\) なので、全ての \( k = 1, 2, \dots \) に対して次が成り立つ：

\rho(A) \leq \lVert A^k \rVert^{1/k}

\( \epsilon \gt 0 \) が与えられたとき、行列

\tilde{A} = (\rho(A) + \epsilon)^{-1} A

はスペクトル半径が1未満であり、収束する。したがって \(\lVert \tilde{A}^k \rVert \to 0\) が \( k \to \infty \) で成立し、ある \( N = N(\epsilon, A) \) が存在して全ての \( k \geq N \) に対して次が成り立つ：

\lVert \tilde{A}^k \rVert \leq 1

これはすなわち、全ての \( k \geq N \) に対して

\lVert A^k \rVert^{1/k} \leq \rho(A) + \epsilon

が成り立つことを意味する。任意の \(\epsilon \gt 0\) に対して \(\rho(A) \leq \lVert A^k \rVert^{1/k}\) が全ての \( k \) で成立するので、\(\lim_{k \to \infty} \lVert A^k \rVert^{1/k} \) が存在し、\(\rho(A)\) に等しいことがわかる。

無限列や行列級数の収束に関する多くの問題は、ノルムを用いて解析できる。

演習. \(\{A_k\} \subset M_n\) を無限列とする。もし行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) が存在して数列 \(\sum_{k=0}^{\infty} \lVert A_k \rVert\) が収束（あるいは部分和が有界）であれば、級数

\sum_{k=0}^{\infty} A_k

は \( M_n \) 内で収束することを示せ。ヒント：部分和がコーシー列を形成することを示す。

解析学の事実として、複素スカラー級数 \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k\) は収束半径 \( R \geq 0 \) を持つ。すなわち、\(|z| \lt R\) では絶対収束し、\(|z| \gt R\) では発散する。収束半径は

R = (\limsup_{k \to \infty} |a_k|^{1/k})^{-1}

で与えられ、極限が存在すれば比率検定により \( R = \lim_{k \to \infty} |a_k / a_{k+1}| \) と計算できる。与えられた \( A \in M_n \) と任意の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して、次の不等式が成立する：

\lVert a_k A^k \rVert \leq |a_k| \, \lVert A \rVert^k

これにより、行列べき級数 \(\sum_{k=0}^{\infty} a_k A^k\) は、対応するスカラーべき級数の収束半径 \(R\) に対して \(\lVert A \rVert \lt R\) の場合に収束することがわかる。任意の行列ノルム \(\lVert \cdot \rVert\) に対して、(5.6.10) は、\(\rho(A) \lt R\) の場合にそのようなノルムが存在することを保証する。