5.6.10
補題 5.6.10. \( A \in M_n \) および任意の \( \varepsilon > 0 \) が与えられたとする。このとき、スペクトル半径に対して次を満たす行列ノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が存在する：
\( \rho(A) \leq \lVert A \rVert \leq \rho(A) + \varepsilon \)
証明. 定理 2.3.1 により、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) と上三角行列 \( T \in M_n \) が存在して、\( A = U T U^* \) と表せる。
次に \( D_t = \mathrm{diag}(t, t^2, t^3, \dots, t^n) \) とおくと：
D_t T D_t^{-1} =
\begin{bmatrix}
\lambda_1 & t^{-1} d_{12} & t^{-2} d_{13} & \dots & t^{-n+1} d_{1n} \\
0 & \lambda_2 & t^{-1} d_{23} & \dots & t^{-n+2} d_{2n} \\
0 & 0 & \lambda_3 & \dots & t^{-n+3} d_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_n
\end{bmatrix}
十分大きな \( t > 0 \) に対して、\( D_t T D_t^{-1} \) の対角成分以外の絶対値の和は \( \varepsilon \) より小さくなる。特に、十分大きな \( t \) に対して \( \lVert D_t T D_t^{-1} \rVert_1 \leq \rho(A) + \varepsilon \) が成立する。
したがって、任意の \( B \in M_n \) に対して次のように行列ノルムを定義すると：
\lVert B \rVert = \lVert D_t U^* B U D_t^{-1} \rVert_1 = \lVert (D_t U^*) B (D_t U^*)^{-1} \rVert_1
十分大きな \( t \) を選べば、補題 5.6.7 により \( \lVert A \rVert \leq \rho(A) + \varepsilon \) を満たす行列ノルムを構成できることが保証される。もちろん、任意の行列ノルムに対して下界 \( \lVert A \rVert \geq \rho(A) \) は常に成立する。
演習. \( A \in M_n \) が与えられたとき、前の結果を用いて次を示せ：
\( \rho(A) = \inf\{\lVert A \rVert : \lVert \cdot \rVert \text{ は誘導された行列ノルム}\} \)。ヒント: 補題 5.6.10 および 5.6.7 を参照。行列 \( A \) に対して \( \rho(A) = \lVert A \rVert \) となる行列ノルムを持つ場合の特徴付けは、参照 (5.6.P38 および P39) を参照。
次に、\( A^k \to 0 \) （\( k \to \infty \)）となる行列 \( A \) の特徴付けを考える。この問題を解くための最後の道具として、次の結果を用いる。
行列解析の総本山
コメント