5.6.6
例 5.6.6. スペクトルノルム \(\|\!|\cdot\|\!|_2\) は、\(M_n\) 上で次のように定義されます：
\|\!|A\|\!|_2 = \sigma_1(A)
ここで \(\sigma_1(A)\) は行列 \(A\) の最大特異値を表します。
我々は \(\|\!|\cdot\|\!|_2\) が \(\ell_2\)-ノルムによって誘導される行列ノルムであることを主張します。行列 \(A\) の特異値分解を \(A = V \Sigma W^*\) とすると、ここで \(V, W\) はユニタリ行列、\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)\)、\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n \ge 0\) です。
ユークリッドノルムのユニタリ不変性と単調性を用いると、次を計算できます：
\max_{\|x\|_2 = 1} \|Ax\|_2
= \max_{\|x\|_2 = 1} \|V \Sigma W^* x\|_2
= \max_{\|x\|_2 = 1} \|\Sigma W^* x\|_2
= \max_{\|y\|_2 = 1} \|\Sigma y\|_2
\le \max_{\|y\|_2 = 1} \sigma_1 \|y\|_2
= \sigma_1 .
しかし、\(y = e_1\) を選べば \(\|\Sigma y\|_2 = \sigma_1\) となるため、結論として
\max_{\|x\|_2 = 1} \|Ax\|_2 = \sigma_1(A)
が成り立ちます。
演習 1. (4.2.2) を用いて、スペクトルノルムがユークリッドノルムから誘導されることを別の方法で証明せよ：
\max_{\|x\|_2 = 1} \|Ax\|_2^2
= \max_{\|x\|_2 = 1} x^* A^* A x
= \lambda_{\max}(A^* A)
= \sigma_1(A)^2
演習 2. スペクトルノルムに関する次の表現 (5.6.2(d)) が正しいことを詳しく証明せよ：
\max_{\|x\|_2 = \|y\|_2 = 1} |y^* V \Sigma W^* x|
= \max_{\|W \xi\|_2 = \|V \eta\|_2 = 1} |\eta^* \Sigma \xi|
= \max_{\|\xi\|_2 = \|\eta\|_2 = 1} |\eta^* \Sigma \xi|
= \sigma_1(A)
演習 3. 任意の \(A \in M_n\) および任意のユニタリ行列 \(U, V \in M_n\) に対して \(\|\!|UAV\|\!|_2 = \|\!|A\|\!|_2\) が成り立つ理由を説明せよ。
次に、任意の行列ノルムに固定された相似変換を挿入することで、新しい行列ノルムを作り出すことができることを示す。
行列解析の総本山
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行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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