5.6.4
例 5.6.4. 最大列和ノルム \( \lVert \cdot \rVert_{1} \) は、行列空間 \( M_{n} \) 上で次のように定義されます。
\lVert A \rVert_{1} = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^{n} \lvert a_{ij} \rvert
ここで、\( \lVert \cdot \rVert_{1} \) がベクトル空間 \( \mathbb{C}^{n} \) の \( l_{1} \)-ノルムにより誘導されていること、したがってこれは行列ノルムであることを主張します。これを示すために、行列 \( A \) をその列に従って区分し、\( A = [a_{1}, \ldots, a_{n}] \) とします。
このとき、次が成り立ちます。
\lVert A \rVert_{1} = \max_{1 \leq i \leq n} \lVert a_{i} \rVert_{1}
ベクトル \( x = [x_{i}] \) とすると、
\lVert Ax \rVert_{1}
= \lVert x_{1}a_{1} + \cdots + x_{n}a_{n} \rVert_{1}
\leq \sum_{i=1}^{n} \lVert x_{i} a_{i} \rVert_{1}
= \sum_{i=1}^{n} |x_{i}| \, \lVert a_{i} \rVert_{1}
\leq \left( \sum_{i=1}^{n} |x_{i}| \right)
\max_{1 \leq k \leq n} \lVert a_{k} \rVert_{1}
= \lVert x \rVert_{1} \, \lVert A \rVert_{1}
したがって、
\max_{\lVert x \rVert_{1} = 1} \lVert Ax \rVert_{1} \leq \lVert A \rVert_{1}
次に、\( x = e_{k} \)（第 \( k \) 標準基底ベクトル）を選ぶと、任意の \( k = 1, \ldots, n \) に対して
\max_{\lVert x \rVert_{1} = 1} \lVert Ax \rVert_{1}
\geq \lVert A e_{k} \rVert_{1}
= \lVert a_{k} \rVert_{1}
よって、
\max_{\lVert x \rVert_{1} = 1} \lVert Ax \rVert_{1}
\geq \max_{1 \leq k \leq n} \lVert a_{k} \rVert_{1}
= \lVert A \rVert_{1}
以上より、\( \lVert A \rVert_{1} \) が \( l_{1} \)-ノルムにより誘導される行列ノルムであることが示されました。
演習問題: 定義に直接基づいて、\( \lVert \cdot \rVert_{1} \) が行列ノルムであることを証明しなさい。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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