[行列解析5.3]ノルムの代数的性質

5.3 ノルムの代数的性質

新しいノルムは、与えられたノルムからいくつかの方法で構成することができます。たとえば、2つのノルムの和はノルムであり、ノルムの正の倍数もまたノルムです。また、もし \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha} \) と \( \lVert \cdot \rVert_{\beta} \) がノルムであれば、

\lVert x \rVert \equiv \max \{ \lVert x \rVert_{\alpha}, \lVert x \rVert_{\beta} \}

で定義される関数 \( \lVert \cdot \rVert \) もノルムになります。

これらの観察はすべて、次の結果の特殊な場合です。

定理 5.3.1.

ベクトル空間 \(V\) 上に、ノルム \( \lVert \cdot \rVert_{\alpha_1}, \ldots, \lVert \cdot \rVert_{\alpha_m} \) が与えられているとします。

ここで \(V\) は体 \(F\) （\(F = \mathbb{R}\) または \( \mathbb{C} \)）上のベクトル空間です。また、実数空間 \( \mathbb{R}^m \) 上にノルム \( \lVert \cdot \rVert \) があり、任意の成分が非負のベクトル \(y, z \in \mathbb{R}^m\) に対して

\lVert y \rVert \leq \lVert y + z \rVert

が成り立つとします。

このとき、関数 \( f : V \to \mathbb{R} \) を

f(x) = \lVert [ \lVert x \rVert_{\alpha_1}, \ldots, \lVert x \rVert_{\alpha_m} ]^T \rVert

と定義すると、これは \(V\) 上のノルムになります。

前の定理におけるノルム \( \lVert \cdot \rVert \) の単調性の仮定は、構成された関数 \(f\) が三角不等式を満たすことを保証するために必要です。

すべての \(l_p\)-ノルムはこの単調性の性質を持っており、また \( \mathbb{R}^m \) 上のノルムで、ベクトルの各成分の絶対値のみの関数である \( \lVert x \rVert_{\beta} \) もこの性質を持っています（式 (5.4.19(c)) および (5.6.P42) を参照）。

しかし、いくつかのノルムにはこの性質がない場合もあります。

練習問題.

(5.3.1) を証明しなさい。