5.2.問題11
5.2.P11
\( \lVert \cdot \rVert \) を実または複素ベクトル空間 \(V\) 上のノルムとし、\(x, y \in V\) を零でないベクトルとする。このとき次を証明しなさい。
(5.2.15)
\lVert x + y \rVert \\
\leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert \\
- \Bigg(2 - \Bigg\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} + \frac{y}{\lVert y \rVert} \Bigg\rVert\Bigg)\min\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}
(5.2.16)
\lVert x + y \rVert \\
\geq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert \\
- \Bigg(2 - \Bigg\lVert \frac{x}{\lVert x \rVert} + \frac{y}{\lVert y \rVert} \Bigg\rVert\Bigg)\max\{\lVert x \rVert, \lVert y \rVert\}
等号成立は、\(\lVert x \rVert = \lVert y \rVert\) または \(x = cy\)（\(c\) が正の実数）の場合である。
行列解析の総本山
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2025.08.05
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