[行列解析5.1.P3]

5.1.問題3
- 5.1.P3
行列解析の総本山

5.1.問題3

5.1.P3

\(V\) の非零ベクトル \(x, y\) を与える。部分空間 \(\mathrm{span}\{x\}\) と \(\mathrm{span}\{y\}\) の間の角度 \(\theta\) を次で定義する：

\cos \theta = \frac{|\langle x, y \rangle|}{\sqrt{\langle x, x \rangle} \, \sqrt{\langle y, y \rangle}}, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}

\(\theta\) がよく定義される、すなわち上式の分数が \(0\) から \(1\) の間にある理由を説明せよ。この用語法が妥当であるのは、非零 \(c,d \in \mathbb{C}\) に対して \(x \mapsto cx, y \mapsto dy\) と置き換えても \(\theta\) が不変であることからわかる。その理由を説明せよ。