[行列解析5.1]問題集

5.1.問題集
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5.1.問題集

以下の各問題において、\(V\) は \(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\) 上のベクトル空間とする。

5.1.P1

\(e_i\) を \(\mathbb{F}^n\) における第 \(i\) 標準基底ベクトルとし、\(\|\cdot\|\) が \(\mathbb{F}^n\) 上の半ノルムであるとする。このとき

\|x\| \leq \sum_{i=1}^n |x_i| \, \|e_i\|

を示せ。

5.1.P2

\(\|\cdot\|\) が \(V\) 上の半ノルムであるとする。このとき \(V_0 = \{v \in V : \|v\| = 0\}\) が \(V\) の部分空間（\(\|\cdot\|\) の零空間と呼ばれる）であることを示せ。 (a) 任意の部分空間 \(S \subseteq V\) に対して \(V_0 \cap S = \{0\}\) ならば、\(\|\cdot\|\) が \(S\) 上でノルムとなることを示せ。 (b) 関係式 \(x \sim y \iff \|x-y\|=0\) を考える。このとき、\(\sim\) が \(V\) 上の同値関係であり、その同値類は \(\hat{x} = \{x+y \in V : y \in V_0\}\) の形で表されることを示せ。これらの同値類全体の集合は自然にベクトル空間をなす。このとき関数 \(\|\hat{x}\| = \{\|x\| : x \in \hat{x}\}\) がよく定義され、同値類のベクトル空間上のノルムであることを示せ。 (c) 任意のベクトル半ノルムに自然なノルムが付随する理由を説明せよ。 (d) 零関数 \(f(x) = 0\)（すべての \(x\) に対して）も半ノルムであるか？ (e) \(n \geq 1\) かつ \(z \in \mathbb{C}^n\) を非零ベクトルとするとき、\(\|x\| = |z^*x|\) が \(\mathbb{C}^n\) 上の半ノルムであり、ノルムではないことを説明せよ。このとき \(\|\cdot\|\) の零空間を求め、同値関係 \(\sim\) を幾何学的に記述せよ。

5.1.P3

\(V\) の非零ベクトル \(x, y\) を与える。部分空間 \(\mathrm{span}\{x\}\) と \(\mathrm{span}\{y\}\) の間の角度 \(\theta\) を次で定義する：

\cos \theta = \frac{|\langle x, y \rangle|}{\sqrt{\langle x, x \rangle} \, \sqrt{\langle y, y \rangle}}, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}

\(\theta\) がよく定義される、すなわち上式の分数が \(0\) から \(1\) の間にある理由を説明せよ。この用語法が妥当であるのは、非零 \(c,d \in \mathbb{C}\) に対して \(x \mapsto cx, y \mapsto dy\) と置き換えても \(\theta\) が不変であることからわかる。その理由を説明せよ。

5.1.P4

\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムであるとする。 (a) すべての \(x, y \in V\) に対して次の平行四辺形恒等式が成立することを示せ：

\frac{1}{2} \left( \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 \right) = \|x\|^2 + \|y\|^2 \quad (5.1.9)

この恒等式の名前の由来を説明せよ。また、この恒等式が成立することが、与えられたノルムが内積から導かれるための必要十分条件であることを示せ（5.1.P12 参照）。(b) \(m \in \{2,3,\dots\}\) とし、\(x_1,\dots,x_m \in V\) を与える。このとき

\sum_{1 \leq i \lt j \leq m} \|x_i - x_j\|^2 + \left\|\sum_{i=1}^m x_i \right\|^2 = m \sum_{i=1}^m \|x_i\|^2

を示し、この恒等式が \(m=2\) の場合に (5.1.9) に帰着することを説明せよ。

5.1.P5

関数 \(\|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|\) を \(\mathbb{C}^n\) 上で考える。これが内積から導かれないノルムであることを示せ。

5.1.P6

\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x,y \in V\) に対して

\mathrm{Re}\,\langle x, y \rangle = \tfrac{1}{4}\left( \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right) \quad (5.1.10)

が成立する（これは偏角恒等式と呼ばれる）。さらに次も成り立つことを示せ：

\mathrm{Re}\,\langle x, y \rangle = \tfrac{1}{2}\left( \|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2 \right)

5.1.P7

関数 \(\|x\|_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|\) が \(\mathbb{C}^n\) 上のノルムであることを示せ。ただしこれは偏角恒等式 (5.1.10) を満たさないので、いかなる内積からも導かれないことも確認せよ。

5.1.P8

\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであるとする。このときすべての \(x, y \in V\) に対して

\|x+y\| \, \|x-y\| \leq \|x\|^2 + \|y\|^2 \quad (5.1.11)

が成立し、等号が成り立つのは \(\mathrm{Re}\,\langle x, y \rangle = 0\) の場合に限る。この不等式がユークリッド内積を持つ \(\mathbb{R}^2\) でどのような幾何学的意味を持つか説明せよ。さらに前問で定義したノルムを用いて、(5.1.11) が成立しない \(x, y \in \mathbb{R}^2\) が存在することを示せ。

5.1.P9

\(\|\cdot\|\) が内積から導かれるノルムとし、\(x, y \in V\)、かつ \(y \neq 0\) とする。このとき：(a) \(\|x - \alpha y\|\) を最小化するスカラー \(\alpha_0\) は

\alpha_0 = \frac{\langle x, y \rangle}{\|y\|^2}

であり、(b) \(x - \alpha_0 y\) と \(y\) は直交することを示せ。

5.1.P10

(5.1.1) の公理 (1)（非負性）が公理 (2) と (3) から従うことを示せ。

5.1.P11

\(\|\cdot\|\) が内積 \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) から導かれるノルムであり、\(x, y \in V\) とする。このとき

\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \iff \mathrm{Re}\,\langle x, y \rangle = 0

が成り立つことを示せ。これはどのような意味を持つか？

5.1.P12

次の証明のスケッチを詳しく示しなさい。すなわち、平行四辺形恒等式 (5.1.9) が、ある実または複素ベクトル空間に与えられたノルムが内積から導かれるための十分条件であることを示す。

まず、実数体 \(\mathbb{R}\) 上のベクトル空間 \(V\) にノルム \( \lVert \cdot \rVert \) が与えられている場合を考える。

(a) 次のように定義する：

\langle x, y \rangle = \tfrac{1}{2} \big( \lVert x+y \rVert^{2} - \lVert x \rVert^{2} - \lVert y \rVert^{2} \big) \tag{5.1.12}

このように定義された \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) が (5.1.3) における公理 (1), (1a), (4) を満たし、さらに \(\langle x, x \rangle = \lVert x \rVert^{2}\) であることを示せ。

(b) (5.1.9) を用いて次を示せ：

4 \langle x, y \rangle + 4 \langle z, y \rangle = 2 \lVert x+y \rVert^{2} + 2 \lVert z+y \rVert^{2} - 2 \lVert x \rVert^{2} - 2 \lVert z \rVert^{2} - 4 \lVert y \rVert^{2} \\ = \lVert x+2y+z \rVert^{2} - \lVert x+z \rVert^{2} - 4 \lVert y \rVert^{2} = 4 \langle x+z, y \rangle

これにより、(5.1.3) の加法性の公理 (2) が満たされることを結論づけよ。

(c) 加法性を用いて、任意の非負整数 \(m, n\) に対して \(\langle nx, y \rangle = n \langle x, y \rangle\) および \(\langle -x, y \rangle = -\langle x, y \rangle\) を示せ。さらに、有理数 \(a \in \mathbb{R}\) に対して \(\langle ax, y \rangle = a \langle x, y \rangle\) が成立することを結論づけよ。

(d) 次の多項式を考える：

p(t) = t^{2}\lVert x \rVert^{2} + 2t \langle x, y \rangle + \lVert y \rVert^{2}, \quad t \in \mathbb{R}

有理数 \(t\) に対して \(p(t) = \lVert tx + y \rVert^{2}\) を示せ。多項式 \(p(t)\) の連続性より、すべての \(t \in \mathbb{R}\) に対して \(p(t) \geq 0\) が従う。これにより、判別式が非正であることからコーシー・シュワルツの不等式

|\langle x, y \rangle|^{2} \leq \lVert x \rVert^{2} \lVert y \rVert^{2}

を導け。

(e) 任意の実数 \(a\) に対して、任意の有理数 \(b\) を用いて次を示せ：

|\langle ax, y \rangle - a \langle x, y \rangle| = |(a-b)\langle x, y \rangle + (b-a)\langle x, y \rangle| \\ \leq |(a-b)\langle x, y \rangle| + |(b-a)\langle x, y \rangle| \leq 2|a-b| \lVert x \rVert \lVert y \rVert

上界は任意に小さくできるため、(5.1.3) の斉次性の公理 (3) が満たされることを結論づけよ。したがって \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) は \(V\) 上の内積である。

ここで注目すべきは、上の議論ではノルムの三角不等式 (5.1.1 の公理 (3)) を用いなかったことである。従って、(5.1.1) の (1), (1a), (2) の各公理と平行四辺形恒等式 (5.1.9) から、与えられたノルムは内積から導かれること、すなわちノルムであり、三角不等式を満たすことが従う。

(f) 次に、\(V\) が複素ベクトル空間である場合を考える。次のように定義する：

\langle x, y \rangle = \tfrac{1}{2}(\lVert x+y \rVert^{2} - \lVert x \rVert^{2} - \lVert y \rVert^{2}) + \tfrac{i}{2}(\lVert x+iy \rVert^{2} - \lVert x \rVert^{2} - \lVert y \rVert^{2})

\(\mathrm{Re}\langle x, y \rangle\) が、\(V\) を実ベクトル空間と見なしたときの内積となるのはなぜかを説明せよ。この事実と (5.1.9) を用いて、\(\langle \cdot, \cdot \rangle\) が複素ベクトル空間としての \(V\) 上の内積であることを示せ。

5.1.P13

\( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。次のフラフな証明の詳細を補って、フラフカの不等式を示せ：

\lVert x + y \rVert + \lVert x + z \rVert + \lVert y + z \rVert \leq \lVert x + y + z \rVert + \lVert x \rVert + \lVert y \rVert + \lVert z \rVert

(a) (5.1.13) の左辺を \(s\)、右辺を \(h\) とする。\(s \leq h\) を示すには、\(h^2 - hs \geq 0\) を示せば十分である。

(b) 次を計算する：

h^2 - hs = \lVert x + y + z \rVert^2 + \lVert x \rVert^2 + \lVert y \rVert^2 + \lVert z \rVert^2 - \lVert x + y \rVert^2 - \lVert x + z \rVert^2 - \lVert y + z \rVert^2 \\ + (\lVert x \rVert + \lVert y \rVert - \lVert x + y \rVert)(\lVert z \rVert - \lVert x + y \rVert + \lVert x + y + z \rVert) \\ + (\lVert y \rVert + \lVert z \rVert - \lVert y + z \rVert)(\lVert x \rVert - \lVert y + z \rVert + \lVert x + y + z \rVert) \\ + (\lVert z \rVert + \lVert x \rVert - \lVert z + x \rVert)(\lVert y \rVert - \lVert z + x \rVert + \lVert x + y + z \rVert)

(d) 三角不等式を使って、最後の3行に出てくる各積の因子が非負であることを示す。

5.1.P14

実数 \(x_1, \ldots, x_n\) が与えられているとする。その平均を \(\mu = n^{-1}\sum_{i=1}^n x_i\)、分散を \(\sigma = \left( n^{-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \right)^{1/2}\) とする。コーシー–シュワルツの不等式を用いて、任意の \(j \in \{1,\ldots,n\}\) に対して次が成り立つことを示せ：

(x_j - \mu)^2 \leq (n - 1)\sigma^2

ただし、ある \(j\) について等号が成り立つのは、全ての \(p, q \neq j\) に対して \(x_p = x_q\) が成り立つ場合に限られる。この結果、次の鋭い評価式が得られる：

\mu - \sigma \sqrt{n - 1} \leq x_j \leq \mu + \sigma \sqrt{n - 1}

この評価は、E. N. Laguerre (1880) と P. N. Samuelson (1968) の名前に結びついている。

5.1.P15

\( \lVert \cdot \rVert \) を内積から導かれるノルムとする。正の整数 \(m\) をとり、\(x_1, \ldots, x_m, z \in V\) とし、\(y = m^{-1}(x_1 + \cdots + x_m)\) と定義する。このとき次を示せ：

\lVert z - y \rVert^2 = m^{-1} \sum_{i=1}^m \left( \lVert z - x_i \rVert^2 - \lVert y - x_i \rVert^2 \right)

さらなる参考文献.

与えられたノルムが内積から導かれるための必要十分条件が平行四辺形恒等式であることを最初に証明したのは、P. Jordan と J. von Neumann によるものと思われる（On inner products in linear, metric spaces, Ann. of Math. (2) 36 (1935), 719–723）。(5.1.P10) の証明の概要は D. Fearnley-Sander と J. S. V. Symons に従っている（Apollonius and inner products, Amer. Math. Monthly 81 (1974), 990–993）。