5.1.3定義
定義 5.1.3.
\(V\) を体 \(F\)（\(F = \mathbb{R}\) または \(\mathbb{C}\)）上のベクトル空間とする。写像
\((\cdot, \cdot): V \times V \to F\) が内積と呼ばれるのは、すべての \(x, y, z \in V\)、およびすべての \(c \in F\) に対して以下が成り立つときである：
(1)\quad (x, x) \geq 0 \quad \text{（非負性）}
(1a)\quad (x, x) = 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; x = 0 \quad \text{（正値性）}
(2)\quad (x + y, z) = (x, z) + (y, z) \quad \text{（加法性）}
(3)\quad (c x, y) = c (x, y) \quad \text{（斉次性）}
(4)\quad (x, y) = \overline{(y, x)} \quad \text{（エルミート性）}
公理 (2)、(3)、(4) から \((\cdot, \cdot)\) が半双線形写像であることがわかる。また、公理 (1) と (1a) は、\(x \neq 0\) のとき \((x, x) \gt 0\) であることを要求している。
練習問題.
ユークリッド内積 \((x, y) = y^{*}x\) が \(\mathbb{C}^n\) 上で内積の5つの公理を満たすことを示せ。
練習問題.
\(D = \mathrm{diag}(d_{1}, \ldots, d_{n}) \in M_{n}(F)\) とし、\((x, y) = y^{*}Dx\) により定義される写像 \((\cdot, \cdot): V \times V \to F\) を考える。この \((\cdot, \cdot)\) は内積の公理のうちどれを満たすか。また、\(D\) にどのような条件を課せば \((\cdot, \cdot)\) が内積となるか。
練習問題.
\(a, b, c, d \in F\)、\(x, y, w, z \in F^{n}\) とする。以下の性質を公理 (5.1.3) から導け：
(a)\quad (x, cy) = \overline{c}(x, y)
(b)\quad (x, y+z) = (x, y) + (x, z)
(c)\quad (ax + by, cw + dz)
= a \overline{c}(x, w) + b \overline{c}(y, w) + a \overline{d}(x, z) + b \overline{d}(y, z)
(d)\quad (x, (x,y)y) = \lvert (x, y) \rvert^{2}
(e)\quad (x, y) = 0 \;\; \text{for all } y \in V \;\; \Longleftrightarrow \;\; x = 0
性質 (a)～(d) はすべての半双線形写像が満たすが、性質 (e) だけは公理 (1) と (1a) に依存している。
コーシー–シュワルツの不等式は、すべての内積がもつ重要な性質である。
行列解析の総本山
コメント