[行列解析4.6.13]定理

4.6.13

定理 4.6.13. 任意の行列 A, B ∈ M_p および C ∈ M_q に対して、A ⊕ C が B ⊕ C と共役相似であるのは、A が B と共役相似である場合に限る。

A ¯A のジョルダン標準形には特別な形がある：非特異部分には λ が実数かつ正の J_k(λ) のみ、または μ が実数かつ正でない（実数で負、もしくは非実数）の J_k(μ) ⊕ J_k(¯μ) のペアのみが含まれる。特異部分は冪零行列の平方と相似である（参照：4.6.P22）。

与えられた A ∈ M_n の共役-標準形（concanonical form）は、(4.6.12) に記述された Type 0, Type I, Type II ブロックの直和で表され、共役相似である。共役-標準形は次の2ステップで決定できる：

ステップ 1. \(r_0 = n\)、\(r_1 = \text{rank } A\)、\(r_{2k} = \text{rank}((A ¯A)^k)\)、\(r_{2k+1} = \text{rank}((A ¯A)^k A)\) （\(k = 1,2,\dots\)）。整数 \(w_j = r_{j-1} - r_j\) （\(j = 1, \dots, n+1\)）が、A の共役-標準形における Type 0 ブロックを次のように決定する：各 \(k = 1, \dots, n\) に対して、\(J_k(0)\) 形式のブロックが \(w_k - w_{k+1}\) 個存在する。

ステップ 2. A ¯A のジョルダン標準形の非特異部分を計算する。これにより、A の共役-標準形における Type I および Type II ブロックが決定される：

λ > 0 の各 J_k(λ) ブロックは、σ > 0 かつ σ² = λ を満たす Type I ブロック J_k(σ) に対応する。非実数または実数負の μ に対する J_k(μ) ⊕ J_k(¯μ) の各ペアは、Type II ブロック H_{2k}(μ) に対応する。