[行列解析4.6.9]補題

4.6.9

補題 4.6.9. \(A \in M_n\) が与えられているとする。このとき、\(A \overline{A} = I\) であることと、ある正則行列 \(S \in M_n\) が存在して

A = S \overline{S}^{-1}

が成り立つことは同値である。

証明. もし \(A = S \overline{S}^{-1}\) ならば、

A \overline{A} = S \overline{S}^{-1} \overline{S} S^{-1} = I

が成り立つ。逆に、\(A \overline{A} = I\) と仮定する。ここで

S_{\theta} = e^{i\theta} A + e^{-i\theta} I, \quad \theta \in \mathbb{R}

とおき、次を計算する：

A \overline{S_{\theta}} = A \left( e^{-i\theta} \overline{A} + e^{i\theta} I \right) = e^{-i\theta} A \overline{A} + e^{i\theta} A = e^{-i\theta} I + e^{i\theta} A = S_{\theta}.

ここで、\(-e^{2i\theta_0}\) が \(A\) の固有値ではないような \(\theta_0 \in [0, \pi)\) が存在する（除外される値は高々 \(n\) 個）。このとき \(S_{\theta_0}\) は正則であり、上の関係式より

A = S_{\theta_0} \overline{S_{\theta_0}}^{-1}

が成り立つ。■

これで、共対角化可能性（condiagonalizability）の必要十分条件を述べ、証明できる準備が整った。共対角化を実際に計算するアルゴリズムについては (4.6.P21) を参照されたい。これは (4.6.8(c)) の構成を一般化したものである。