[行列解析4.5]注釈

4.5.注釈

補足および参考文献：

二つ以上の行列の同時対角化に関する結果（および (4.5.P23 および P24) の主張の証明）については、Y. P. Hong と R. A. Horn, “On simultaneous reduction of families of matrices to triangular or diagonal form by unitary congruence”, Linear Multilinear Algebra 17 (1985), 271–288 を参照。

∗合同および合同の標準形定理の証明、(4.5.22) および (4.5.26) に続くアルゴリズムの詳細、Type I ブロックの符号を決定する二つのアルゴリズム、\(\mathbb{C}\) 以外の体上への拡張については、R. A. Horn と V. V. Sergeichuk, (a) “A regularization algorithm for matrices of bilinear and sesquilinear forms”, Linear Algebra Appl. 412 (2006) 380–395, (b) “Canonical forms for complex matrix congruence and ∗congruence”, Linear Algebra Appl. 416 (2006) 1010–1032, (c) “Canonical matrices of bilinear and sesquilinear forms”, Linear Algebra Appl. 428 (2008) 193–223 を参照。

問題 (4.5.P36) は特殊相対性理論に関連しており、\(A = \text{diag}(1,1,1,−c)\) （c は光速）を考える。このことは、ローレンツ変換が、四次元時空における座標変換のうち、光速の普遍性というアインシュタインの公理と矛盾しない唯一の線形変換であることを意味する。詳しい解説は、J. H. Elton, “Indefinite quadratic forms and the invariance of the interval in special relativity”, Amer. Math. Monthly 117 (2010) 540–547 を参照。

normalizable matrix（正規化可能行列）という用語は、K. Fan, “Normalizable operators”, Linear Algebra Appl. 52/53 (1983) 253–263 において初めて使われたと思われる。