4.5.問題19
4.5.P19
シルベスターの慣性則 (4.5.8) の代替証明の概略を詳述せよ。
\(A, S ∈ M_n\) が非特異で \(A\) がエルミートであるとする。
\(S = QR\) を QR 分解 (2.1.14) とし、\(Q ∈ M_n\) が単位行列、\(R ∈ M_n\) が正の主対角線を持つ上三角行列とする。
\(S(t) = tQ + (1-t)QR\) が \(0 ≤ t ≤ 1\) で非特異であることを示し、\(A(t) = S(t) A S(t)^∗\) とする。
\(A(0)\) は何か？
\(A(1)\) は何か？
なぜ \(A(0)\) と \(A(1)\) は正固有値（負固有値）の数が同じか説明せよ。
一般の場合は小さな \(\epsilon > 0\) に対して \(A ± \epsilon I\) を考慮して扱え。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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