[行列解析4.5.P5]

4.5.問題
- 4.5.P5
行列解析の総本山

4.5.問題

4.5.P5

実対称係数行列 \(A(x) = [a_{ij}(x)]\) を持つ微分作用素 \(L\) (4.0.4) は、点 \(x ∈ D ⊂ \mathbb{R}^n\) で \(A(x)\) が非特異かつ全ての固有値が同符号であれば楕円型であり、\(n-1\) 個の固有値が同符号で1つの固有値が反対符号であれば双曲型である。

ある座標系に対して点で楕円型（または双曲型）の微分作用素は、他の全ての座標系に対してもその点で楕円型（または双曲型）である理由を説明せよ。

ラプラス方程式 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0\) は楕円型微分作用素の例であり、波動方程式 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0\) は双曲型の例である。

両方ともデカルト座標系で表され、球座標系や円筒座標系では見た目は異なるが、それぞれ楕円型および双曲型である。