[行列解析4.5]問題集

4.5.問題集

4.5.P1

\(A, B ∈ M_n\) とし、\(B\) が非特異であるとする。ある \(C ∈ M_n\) が存在して \(A = BC\) となることを示せ。さらに、任意の非特異 \(S ∈ M_n\) に対して、\(SAS^∗ = (SBS^∗)C'\) が成り立ち、ここで \(C'\) は \(C\) と相似であることを示せ。

4.5.P2

\(A, B ∈ M_n\) が反対称であるとする。ある非特異 \(S ∈ M_n\) が存在して \(A = SBS^T\) となるのは、かつそのときに限り \(\text{rank } A = \text{rank } B\) であることを示せ。

4.5.P3

\(A, B ∈ M_n\) がエルミートであるとする。

(a) \(A\) が \(B\) と*合同である場合、全ての \(k = 2, 3, \dots\) に対して \(A^k\) が \(B^k\) と ∗合同であることを示せ。

(b) \(A^2\) が \(B^2\) と ∗合同である場合、\(A\) は \(B\) と ∗合同であるか？理由を説明せよ。

(c) 行列 \(C = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) と \(D = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) は ∗合同であるが、\(C^2\) は \(D^2\) と ∗合同でないことを示せ。これは (a) に矛盾するか？

4.5.P4

(4.5.17(a)) の一般化を証明せよ：

\(A_1, A_2, \dots, A_k ∈ M_n\) がエルミートで、\(A_1\) が非特異であるとする。ある非特異 \(T ∈ M_n\) が存在して \(T^∗ A_i T\) が全ての \(i = 1, \dots, k\) に対して対角行列となるのは、かつそのときに限り \(\{A_1^{-1} A_i : i = 2, \dots, n\}\) が実固有値を持つ可換対角化可能行列族であることを示せ。(4.5.17(b)) の対応する一般化は何か？

(a) \(A\) と \(B\) がエルミートであり、かつ \(A\) が非特異であるとする。このとき \(C = A^{-1}B\) とおく。ある非特異行列 \(S \in M_n\) と実対角行列 \(\Lambda, M\) が存在して、
A = S \Lambda S^{*}, \quad B = S M S^{*}
となるのは、\(C\) が対角化可能で実固有値を持つ場合に限る。

4.5.P5

実対称係数行列 \(A(x) = [a_{ij}(x)]\) を持つ微分作用素 \(L\) (4.0.4) は、点 \(x ∈ D ⊂ \mathbb{R}^n\) で \(A(x)\) が非特異かつ全ての固有値が同符号であれば楕円型であり、\(n-1\) 個の固有値が同符号で1つの固有値が反対符号であれば双曲型である。

ある座標系に対して点で楕円型（または双曲型）の微分作用素は、他の全ての座標系に対してもその点で楕円型（または双曲型）である理由を説明せよ。

ラプラス方程式 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 0\) は楕円型微分作用素の例であり、波動方程式 \(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = 0\) は双曲型の例である。

両方ともデカルト座標系で表され、球座標系や円筒座標系では見た目は異なるが、それぞれ楕円型および双曲型である。

4.5.P6

\(\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\) と \(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1\end{pmatrix}\) が単位的合同によって同時対角化可能であるが、∗合同では同時対角化できないことを示せ。(4.5.17b) の証明に従って、合同による同時対角化を実現する単位行列を見つけよ。

4.5.P7

\(\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\) と \(\begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}\) は、∗合同および合同のいずれによっても同時対角化できないことを示せ。

4.5.P8

\(A, S ∈ M_n\) とし、\(A\) はエルミート、\(S\) は非特異とする。\(A\) と \(SAS^∗\) の固有値を非減少順に並べる（4.2.1参照）。非零固有値 \(\lambda_k(A)\) に対して、相対固有値摂動の上界 \(|\lambda_k(SAS^∗) - \lambda_k(A)| / |\lambda_k(A)| ≤ \rho(I - SS^∗)\) を (4.5.9) から導け。\(S\) が単位行列の場合、また「ほぼ単位行列」の場合はどうなるか？

4.5.P9

\(A ∈ M_n\) とし、\(\text{rank } A = r\) とする。

以下が同値である理由を説明せよ：

(a) ∗合同正則化アルゴリズムが最初のステップで終了する、

(b) nullspace \(A =\) nullspace \(A^∗\)、

(c) range \(A =\) range \(A^∗\)、

(d) 非特異 \(B \in M_r\) と単位行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U(B ⊕ 0_{n-r})U^∗\)、

(e) \(A\) は EP 行列 (2.6.P28) である。

4.5.P10

\(A ∈ M_n\) とし、\(\text{rank } A = r\) および nullspace \(A =\) nullspace \(A^∗\) であるとする。

\(A\) が rank principal (0.7.6.2) である、すなわち \(A\) が非特異な \(r×r\) 主小行列を持つことを示せ。

4.5.P11

\(A \in M_n\) が非零かつ正規であるとする。

非零固有値を \(\lambda_1 = |\lambda_1| e^{i\theta_1}, \dots, \lambda_r = |\lambda_r| e^{i\theta_r}\) とし、各 \(\theta_j ∈ [0, 2\pi)\) とする。

また \(\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_r)\) とする。

(a) \(A\) が (4.5.23) の三つの条件すべてを満たす理由を詳しく説明せよ。(それぞれ正当化し、単に一つだけ証明して同値性を引用しないこと)

(b) \(A\) の ∗合同標準形は \([e^{i\theta_1}] ⊕ \dots ⊕ [e^{i\theta_r}] ⊕ 0_{n-r}\) であることを示せ。

(c) 角度 \(\theta_1, \dots, \theta_r\) の中に \(d\) 個の異なる角 \(\phi_1, \dots, \phi_d\) が存在し、それぞれの重複度が \(n_1, \dots, n_d\) で \(n_1 + \dots + n_d = r\) の場合、各 \(\phi_j\) は重複度 \(n_j\) の \(A\) の標準角であることを示せ。

(d) 各半直線 \(\{ r e^{i\phi_j} : 0 \lt r \lt ∞ \}\) 上には正確に \(n_j\) 個の \(A\) の固有値が存在することを示せ。

(e) \(B ∈ M_n\) が正規である場合、B が ∗合同で A と合同であるのは、かつそのときに限り \(\text{rank } B = \text{rank } A\) かつ各半直線 \(\{ r e^{i\phi_j} : 0 \lt r \lt ∞ \}\) 上に正確に \(n_j\) 個の固有値を持つ場合である。

4.5.P12

前問を \(A\) がエルミートであると仮定して再考する。

なぜ \(d\) の可能な値は 1 または 2 のみか？

なぜ標準角は \(\theta_1 = 0\) または \(\theta_2 = \pi\) のみか？

重複度 \(n_1\) と \(n_2\) は \(A\) の慣性とどのように関係するか？

なぜ ∗合同標準形定理はエルミート行列のシルベスターの慣性定理の任意の正方行列への一般化と考えられるのか説明せよ。

4.5.P13

\(U, V ∈ M_n\) が単位行列であるとする。\(U\) と \(V\) が ∗合同であるのは、かつそのときに限り相似であり、またそのときに限り同じ固有値を持つ場合であることを示せ。

4.5.P14

\(A ∈ M_n\) とし、\(A = H + iK\) で、\(H\) と \(K\) はエルミート、\(H\) は非特異とする。

(a) (4.5.17), (4.5.18), (4.5.24) の主張を用いて、\(H^{-1}K\) が対角化可能かつ実固有値を持つのは、かつそのときに限り \(A\) が非特異かつ ∗合同で対角化可能である理由を説明せよ。計算不要。

(b) 計算を行う：\(S ∈ M_n\) が非特異で \(H^{-1}K = S\Lambda S^{-1}\) とし、\(\Lambda = \text{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) は実数であるとする。\(A\) が非特異で \(A^{-*}A = SMS^∗\)、\(M = \text{diag}(\mu_1, \dots, \mu_n)\)、各 \(\mu_j = (1 + i\lambda_j)/(1 - i\lambda_j)\) が絶対値 1 であることを示せ。これにより \(H\) と \(K\) は ∗合同で同時に対角化可能である。

(c) \(A\) が非特異で \(A^{-*}A = S\Lambda S^∗\) で、\(S ∈ M_n\) が非特異かつ \(\Lambda\) が対角かつユニタリである場合、\(\Lambda = \text{diag}(e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n})\) と書く。

すべての \(\theta_j ∈ [0, 2\pi)\) に対して、\(H = S \text{diag}(\cos\theta_1, \dots, \cos\theta_n) S^∗\)、\(K = S \text{diag}(\sin\theta_1, \dots, \sin\theta_n) S^∗\) であり、\(\pi/2 \gt \theta_j \gt -\pi/2\) であることを説明せよ。

4.5.P15

(a) 反対角線より下の全ての要素がゼロであるハンケル行列は、最初の行の要素によって完全に決定される理由を説明せよ。

(b) 標準ブロック \(\Delta_k\) (4.5.19) の逆行列は、反対角線より下の要素が全てゼロであるハンケル行列であり、最初の行は 1, −i, −1, i, 1, −i, −1, i, … の順に右から左へ入力して構成される。

例えば、\(\Delta_3^{-1}\) の最初の行は [−1 − i, 1]、
\(\Delta_4^{-1}\) の最初の行は [i, −1, −i, 1]、
\(\Delta_5^{-1}\) の最初の行は [1, i, −1, −i, 1] である。

これを用いて \(\Delta_k^{-1}\) の形から \(\Delta_k^{-1} \Delta_k\) を計算して確認せよ。

(c) \(\Delta_k^{-∗} \Delta_k\) が上三角行列（実際にはテプリッツ行列）で、主対角線の要素が全て +1、第1上対角線の要素が全て 2i であることを示せ。

(d) \(\Delta_k^{-∗} \Delta_k\) のジョルダン標準形が \(J_k(1)\) である理由を説明せよ。

4.5.P16

\(n×n\) 複素エルミート行列の集合における ∗合同の互いに交わらない同値類はいくつあるか？\(n×n\) 実対称行列の集合ではいくつか？

4.5.P17

\(n×n\) 複素対称行列の集合における合同の互いに交わらない同値類はいくつあるか？\(n×n\) 実対称行列の集合ではいくつか？

4.5.P18

\(A, B ∈ M_n\) が対称で \(A\) が非特異であるとする。一般化特性多項式 \(p_{A,B}(t) = \det(tA - B)\) が \(n\) 個の異なる零点を持つ場合、\(A\) と \(B\) は合同によって同時に対角化可能であることを示せ。

4.5.P19

シルベスターの慣性則 (4.5.8) の代替証明の概略を詳述せよ。

\(A, S ∈ M_n\) が非特異で \(A\) がエルミートであるとする。

\(S = QR\) を QR 分解 (2.1.14) とし、\(Q ∈ M_n\) が単位行列、\(R ∈ M_n\) が正の主対角線を持つ上三角行列とする。

\(S(t) = tQ + (1-t)QR\) が \(0 ≤ t ≤ 1\) で非特異であることを示し、\(A(t) = S(t) A S(t)^∗\) とする。

\(A(0)\) は何か？

\(A(1)\) は何か？

なぜ \(A(0)\) と \(A(1)\) は正固有値（負固有値）の数が同じか説明せよ。

一般の場合は小さな \(\epsilon > 0\) に対して \(A ± \epsilon I\) を考慮して扱え。

4.5.P20

\(A ∈ M_n\) とし、その特性多項式を \(p_A(t) = t^n + a_{n-1}(A)t^{n-1} + \cdots + a_1(A)t + a_0(A)\) とする。

(a) 係数 \(a_i(A)\)（\(i = 0, 1, \cdots, n − 1\)）は \(A\) の固有値の初等対称関数である (1.2.15)。

なぜこれらの係数は \(A\) の連続関数となるか説明せよ。

(b) A が正規である場合、\(\text{rank } A = r\) が示すのは、\(A\) は正確に \(r\) 個の非零固有値（\(\lambda_1, \dots, \lambda_r\) とする）を持ち、従って \(a_{n-r+1}(A) = a_{n-r+2}(A) = \cdots = a_0(A) = 0\) であり \(a_{n-r}(A) = \lambda_1 \cdots \lambda_r\) であることを説明せよ。

このとき \(S\) の任意の行列は同じ慣性を持つことを示せ。

(d) \(S\) が連結でない場合、(c) の主張が正しくない例を示せ。

4.5.P21

\(A ∈ M_n\) がエルミートであり、次のように分割されるとする：

A = \begin{pmatrix} B &C \\ C^* &D \end{pmatrix}

ここで B は非特異である。\(S = D - C^* B^{-1} C\) を \(B\) の \(A\) における Schur 補行列とする。

(a) 恒等式 (0.8.5.3) が \(A\) と \(B ⊕ S\) の間に ∗合同を示す理由を説明せよ。

(b) Haynsworth の定理を証明せよ：\(A, B, S\) の慣性 (4.5.6) は次の恒等式で関連する：

(4.5.28)

i_+(A) = i_+(B) + i_+(S) \\ i_-(A) = i_-(B) + i_-(S) \\ i_0(A) = i_0(S)

すなわち、I(A) = I(B) + I(S) である。関連する結果は (7.1.P28) を参照。

4.5.P22

\(B ∈ M_n\) がエルミートで、\(y ∈ C^n\)、\(a ∈ R\) が与えられており、次のように定める：

A = \begin{pmatrix} B & y \\ y^* &a \end{pmatrix} \in M_{n+1}

前問の Haynsworth の定理を用いて、Cauchy の交差不等式 (4.3.18) を証明せよ。

4.5.P23

\(\{A_1, \dots, A_k\} ⊂ M_n\) を複素対称行列族とし、
\(G = \{A_i \overline{A_j} : i, j = 1, \dots, k\}\) とする。

もし \(U ∈ M_n\) が単位行列で、すべての\( i\) に対して
\(U A_i U^T\) が対角化可能であるなら、なぜ G は可換族となるか説明せよ。

\(k = 2\) の場合、これは何に帰着し、(4.5.15b) とどのように関係するか？実際、\(G\) の可換性は \(F\) の単位合同による同時対角化を保証するのに十分である。

4.5.P24

\(F = \{A_1, \dots, A_k\} ⊂ M_n\) を複素対称行列族、\(H = \{B_1, \dots, B_m\} ⊂ M_n\) をエルミート行列族とし、\(G = \{A_i \overline{A_j} : i, j = 1, \dots, k\}\) とする。もし \(U ∈ M_n\) が単位行列で、すべての \(U A_i U^T\) とすべての \(U B_j U^*\) が対角化可能であるなら、\(G\) と \(H\) は可換族であり、すべての \(i,j\) に対して \(B_j A_i\) は対称であることを示せ。\(k = m = l \)の場合、これは何に帰着し、(4.5.15(c)) とどのように関係するか？これらの条件もまた \(F\) と \(H\) の合同による同時対角化を保証するのに十分である。

4.5.P25

標準ブロック \(\Gamma_k\) (4.5.24) のコスクエアが \(J_k ((−1)^{k+1})\) に相似であることを、次を検証して示せ：

\Gamma_k^{-T} \Gamma_k = \begin{pmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & -1 & \\ 1 & 1 & 1 & & \\ -1 & -1 & & & \\ 1 & & & & \end{pmatrix} \\ \Gamma_k = (-1)^{K+1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & & \text{★} &\\ & 1 & \ddots & & \\ & & \ddots & 2 & \\ & & & 1 & \end{pmatrix}

4.5.P26

\(μ ∈ C\) が非零であるとする。

\(H_{2k}(μ)\) が\(H_{2k}(\overline{μ}) = H_{2k}(μ)\) と合同であるのは、\(μ\) が実数であるか、または \(|μ| = 1\) の場合に限ることを示せ。

4.5.P27

\(B ∈ M_n\) とし、\(C = B ⊕ \overline{B}\) を定義する。

さらに次の行列を定義する：

S = \frac{e^{iπ/4}}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0_n & i I_n \\ -i I_n & 0_n \end{pmatrix}

(a) なぜ \(S\) が単位行列で、対称かつ共反転可能 (coninvolutory) であるか説明せよ。

(b) \(SCS^T\) および \(SCS^*\) がいずれも実行列であることを示せ。

すなわち、\(C\) は実行列に合同および ∗合同である。

4.5.P28

\(A ∈ M_n\) が \(\overline{A}\) に合同であるとする。

(a) (4.5.25) および (4.5.P26) を用いて、A が次の直和に合同であることを示せ：

\(J_k(0), \Gamma_k, H_{2k}(r)\) 形式の実ブロックで \(r\) は実数かつ \(r = (−1)^k \)または \(|r| \gt 1\);
\(H_{2k}(μ)\) 形式のブロックで \(|μ| = 1, μ ≠ ±1, μ は \overline{μ}\) に置換しても決定される（すなわち \(H_{2k}(μ)\) は \(H_{2k}(\overline{μ})\) に合同である）;
\(H_{2k}(μ) ⊕ H_{2k}(\overline{μ}) \)形式のブロックペアで \(μ\) は実数でなく \(|μ| \gt 1\)。

(b) 前問を用いて、\(A\) が実行列に合同であることを示せ。

4.5.P29

\(A ∈ M_n\) が \(\overline{A}\) に ∗合同であるとする。

(a) (4.5.21) を用いて、\(A\) が次の直和に ∗合同であることを示せ：

\(J_k(0), \pm \Gamma_k, H_{2k}(r)\) 形式の実ブロックで \(r\) は実数かつ \(|r| > 1\),
\(λ \Gamma_k ⊕ \overline{λ}\Gamma_k\) 形式のブロックペアで \(|λ| = 1\) かつ \(λ ≠ ±1\)、または \(H_{2k}(μ) ⊕ H_{2k}(\overline{\mu}) \)形式のブロックペアで \(\mu\) は実数でなく \(|\mu| > 1\)。

(b) (4.5.P27) を用いて、\(A\) が実行列に ∗合同であることを示せ。

4.5.P30

\(A ∈ M_n\) とする。\(A\) が \(\overline{A}\) に合同（それぞれ ∗合同）であるのは、\(A\) が実行列に合同（それぞれ ∗合同）である場合に限ることを説明せよ。

4.5.P31

(a)

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ i & 0 \end{pmatrix}

は実行列に合同であるが、

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2i & 0 \end{pmatrix}

は合同でないことを説明せよ。

(b) (a) のいずれの行列も ∗合同で実行列にはならないことを説明せよ。

4.5.P32

\(A ∈ M_{2n}\) が四元数型行列(クォータニオン型行列)である場合 (4.4.P29 を参照)、次を説明せよ：

\(A\) が四元数型行列であるとは、\(A_{21} = -\overline{A_{12}}\) および \(A_{22} = \overline{A_{11}}\) を満たすことをいう。

(a) \(A\) は次の行列 \(S_{2n}\) によって \(\overline{A}\) と合同である：

S_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \\ -I_n & 0_n \end{pmatrix}

(b) 任意の四元数型行列は実行列と合同である。

4.5.P33

\(A ∈ M_n\) とする。(4.5.25) を用いて \(A\) が \(A^T\) に合同であることを示せ。

4.5.P34

\(A ∈ M_n\) とする。(4.5.21) を用いて \(A\) が \(A^T\) に ∗合同であることを示せ。

4.5.P35

A = \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ -1 &1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1 \end{pmatrix}

(a) (4.5.17) および (4.5.24) の両方を用いて、\(A\) と \(B\) が ∗合同によって同時に対角化できないことを示せ。

(b) (4.5.17) を用いて、\(A\) と \(B\) が合同によって同時に対角化できないことを示せ。

(c) \(x ∈ C^2\) で \(x^* A x = 0\) のとき、常に \(x^* B x = 0\) となることを示せ。

4.5.P36

\(A, B ∈ M_n\) はエルミート行列とする。\(A\) が不定であり、\(x ∈ C^n\) で \(x^* A x = 0\) のとき常に \(x^* B x = 0\) となると仮定する。

(a) ある実数 \(κ\) が存在して \(B = κ \)A となることを示せ。特に、\(A\) と \(B\) は ∗合同によって同時対角化可能である。

(b) 仮定を \(A, B ∈ M_n(R)\) が対称である場合に変更しても、主張 (a) は正しいことを示せ。すなわち、\(A\) が不定で \(x^T A x = 0\) のとき常に \(x^T B x = 0\) となる場合である。

(c) 前問を用いて、\(A\) が不定であるという仮定を省略できない理由を説明せよ。

4.5.P37

\(A ∈ M_n\) を正則行列とする。次の六つの条件が同値であることを示せ（(a) と (b) の同値は (4.5.24) に示されている）：

(a) \(A\) は ∗合同で対角化可能である。すなわち、正則行列 \(S ∈ M_n\) と対角ユニタリ行列 \(D = \mathrm{diag}(e^{iθ_1}, …, e^{iθ_n})\) が存在して、\(A = SDS∗\) となる。

(b) \(A^{−∗}A\) は対角化可能であり、その固有値のすべての絶対値は 1 である。

(c) 正則行列 \(S ∈ M_n\) と正則対角行列 \(Λ\) が存在して \(A = SΛS^∗\) となる。

(d) \(\mathbb{C}^n\) の二つの基底 \(X = [x_1 … x_n]\) および \(Y = [y_1 … y_n]\) と正則対角行列 \(Λ = \mathrm{diag}(λ_1, …, λ_n)\) が存在して、\(X^∗Y = I\) かつ \(Ax_j = λ_j y_j\) が \(j = 1, …, n\) に対して成り立つ。

(e) 正定値行列 \(B ∈ M_n\) が存在して \(A^∗BA = ABA^∗\) が成り立つ。

(f) 正定値行列 \(B ∈ M_n\) および正則な正規行列 \(C ∈ M_n\) が存在して \(A = BCB\) が成り立つ。

これら六つの条件はそれぞれ正規行列の性質を表している。このため、∗合同で対角化可能な行列は「正規化可能 (normalizable)」であると言われる。

補足および参考文献：

二つ以上の行列の同時対角化に関する結果（および (4.5.P23 および P24) の主張の証明）については、Y. P. Hong と R. A. Horn, “On simultaneous reduction of families of matrices to triangular or diagonal form by unitary congruence”, Linear Multilinear Algebra 17 (1985), 271–288 を参照。

∗合同および合同の標準形定理の証明、(4.5.22) および (4.5.26) に続くアルゴリズムの詳細、Type I ブロックの符号を決定する二つのアルゴリズム、\(\mathbb{C}\) 以外の体上への拡張については、R. A. Horn と V. V. Sergeichuk, (a) “A regularization algorithm for matrices of bilinear and sesquilinear forms”, Linear Algebra Appl. 412 (2006) 380–395, (b) “Canonical forms for complex matrix congruence and ∗congruence”, Linear Algebra Appl. 416 (2006) 1010–1032, (c) “Canonical matrices of bilinear and sesquilinear forms”, Linear Algebra Appl. 428 (2008) 193–223 を参照。

問題 (4.5.P36) は特殊相対性理論に関連しており、\(A = \text{diag}(1,1,1,−c)\) （c は光速）を考える。このことは、ローレンツ変換が、四次元時空における座標変換のうち、光速の普遍性というアインシュタインの公理と矛盾しない唯一の線形変換であることを意味する。詳しい解説は、J. H. Elton, “Indefinite quadratic forms and the invariance of the interval in special relativity”, Amer. Math. Monthly 117 (2010) 540–547 を参照。

normalizable matrix（正規化可能行列）という用語は、K. Fan, “Normalizable operators”, Linear Algebra Appl. 52/53 (1983) 253–263 において初めて使われたと思われる。