[行列解析4.5.25]定理

4.5.25定理

定理 4.5.25.

任意の正方複素行列は、次の 3 種類の行列の直和に合同であり、その直和の順序を除いて一意に決定されます。

タイプ 0: \(J_k(0), k = 1, 2, …\)

タイプ I: \(\Xi_k, k = 1, 2, …\)

タイプ II: \(H_{2k}(μ), k = 1, 2, …\), ここで \(0 \lt μ \lt (−1)^{k+1}\) であり、μ は \(μ^{-1}\) に置き換え可能な範囲で決定されます。

演習.

\(A, B, S ∈ M_n\) が可逆で、\(A = S B S^T\) と仮定します。なぜ \(A^{-T} A = S^{-T} (B^{-T} B) S^T\) となるのか、また \(A^{-T} A\) が \(B^{-T} B\) と同じジョルダン標準形を持つ理由を説明してください。

演習.

\(A ∈ M_n\) が可逆とします。なぜ \(A^{-T} A\) は \((A^{-T} A)^{-T}\) に相似であり、さらに \((A^{-T} A)^{-1}\) に相似であるのか説明してください。また、\(A^{-T} A\) のジョルダン標準形にある任意のブロック \(J_k(μ)\) は、\(\mu \neq \pm 1\) の場合に \(J_k(μ^{-1})\) と対にならなければならない理由を説明してください。

可逆な \(A ∈ M_n\) のコスクエアは \(A^{-T} A\) であり、そのジョルダン標準形は非常に特別な形を持ちます。すなわち、\(J_k((−1)^{k+1})\) の形のブロックのみ、または \(J_k(μ) ⊕ J_k(μ^{-1})\) の形のブロック対のみを含みます。ただし \(0 \lt μ \lt (−1)^{k+1}\) です。行列 \(\Xi_k\) は、そのコスクエアが \(J_k((−1)^{k+1})\) に相似であるため、合同の標準形に現れます（参照: 4.5.P25）。