4.5.18補題
補題 4.5.18.
\(A \in M_n\) を与える。ここで \(A = H + iK\) とし、\(H\) と \(K\) はエルミート行列とする。このとき、\(A\) が ∗合同によって対角化可能であるのは、\(H\) と \(K\) が同時に ∗合同によって対角化可能である場合に限る。
証明.
もし非特異な \(S \in M_n\) が存在して、\(SHS^{*} = L\)、\(SKS^{*} = M\) が共に対角行列であれば、
SAS^{*} = SHS^{*} + iSKS^{*} = L + iM
は対角行列となる。逆を証明するためには、次を示せば十分である。すなわち、\(B = [b_{jk}]\)、\(C = [c_{jk}]\) が \(n \times n\) のエルミート行列で、
B + iC = [b_{jk} + i c_{jk}]
が対角行列であるならば、\(B\) と \(C\) も対角行列である。任意の \(j \neq k\) に対して、
b_{jk} + i c_{jk} = 0, \quad b_{kj} + i c_{kj} = \overline{b_{jk}} + i \overline{c_{jk}} = 0
であるから、\(\overline{b_{jk}} + i \overline{c_{jk}} = b_{jk} - i c_{jk} = 0\) となる。したがって、次の連立方程式
b_{jk} + i c_{jk} = 0, \quad b_{jk} - i c_{jk} = 0
の解は自明解 \(b_{jk} = c_{jk} = 0\) のみである。∎
この補題は、同じサイズの2つのエルミート行列を ∗合同によって同時に対角化する問題が、複素正方行列を ∗合同によって対角化する問題に帰着されることを示している。後者の問題に取り組む一つの方法は、∗合同に対する標準形を用いることである。これは3種類の標準ブロックを含む。
第1の型は、特異ジョルダンブロックの族 \(J_k(0)\)（\(k=1,2,\dots\)）である。最小のブロックは \(J_1(0) = [0]\) である。
第2の型は、非特異ハンケル行列の族である：
K =
\begin{bmatrix}
1 & \cdots & i \\
1 & \cdots & \\
\vdots & \ddots & \\
1 & & i
\end{bmatrix} \in M_k, \quad k = 1, 2, \dots
この型のサイズ1および2のブロックは次の通りである：
K_1 = [1], \quad
K_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
1 & i
\end{bmatrix}
第3の型は、非特異ジョルダンブロックを組み込んだ偶数サイズの非特異複素ブロックの族である：
H_{2k}(\mu) =
\begin{bmatrix}
0 & I_k \\
J_k(\mu) & 0
\end{bmatrix}
\in M_{2k}, \quad \mu \neq 0, \; k=1,2,\dots
この型の最小のブロックは次の通りである：
H_2 =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\
\mu & 0
\end{bmatrix}
これで ∗合同標準形定理を述べる準備が整った。
行列解析の総本山
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