4.5.15定理
定理 4.5.15. \( A, B \in M_n \) とする。
(a) \( A, B \) がエルミート行列であると仮定する。このとき、ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と実対角行列 \( \Theta, M \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して、
A = U \Theta U^*, \quad B = U M U^*
が成り立つことと、\( AB \) がエルミート、すなわち \( AB = BA \) であることは同値である。
(b) \( A, B \) が対称行列であると仮定する。このとき、ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と対角行列 \( \Theta, M \in M_n \) が存在して、
A = U \Theta U^T, \quad B = U M U^T
が成り立つことと、\( \bar{A}B \) が正規行列であることは同値である。
さらに、ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と実対角行列 \( \Theta, M \in M_n(\mathbb{R}) \) が存在して上記が成り立つことと、\( \bar{A}B \) がエルミート、すなわち \( \bar{A}B = B \bar{A} \) であることは同値である。
(c) \( A \) がエルミートで \( B \) が対称行列であると仮定する。このとき、ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と対角行列 \( \Theta, M \in M_n \) が存在して、
A = U \Theta U^*, \quad B = U M U^T
が成り立つことと、\( AB \) が対称行列、すなわち \( AB = B \bar{A} \) であることは同値である。
証明. (a) は (4.1.6) を参照。
(b) は (2.6.P21), (2.6.P22) を参照。
(c) \( A = U \Theta U^* \)、\( B = U M U^T \) なら、
AB = U \Theta U^* U M U^T = U \Theta M U^T
は対称である。さらに、
AB = (AB)^T = B^T A^T = B \bar{A}
である。逆に、\( AB = B \bar{A} \) で、\( A \) が異なる固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) をもつと仮定する。\( A = U \Theta U^* \) とすると、ここで \( U \) はユニタリ行列で、
\Theta = \lambda_1 I_{n_1} \oplus \cdots \oplus \lambda_d I_{n_d}
である。このとき
AB = U \Theta U^* B = B \bar{U} \Theta U^T = B \bar{A}
ゆえに、
\Theta U^* B \bar{U} = U^* B \bar{U} \Theta
となり、\( U^* B \bar{U} = B_1 \oplus \cdots \oplus B_d \) は \(\Theta\) に整合するブロック対角である（2.4.4.2）。さらに各ブロック \( B_j \in M_{n_j} \) は対称なので、(4.4.4c) により、ユニタリ行列 \( V_j \in M_{n_j} \) と非負対角行列 \( \Phi_j \in M_{n_j} \) が存在して、
B_j = V_j \Phi_j V_j^T, \quad j = 1, \ldots, d
と書ける。ここで \( V = V_1 \oplus \cdots \oplus V_d \)、\( \Phi = \Phi_1 \oplus \cdots \oplus \Phi_d \)、\( W = UV \) とおくと、\( V \) は \(\Theta\) と可換である。したがって、
B = U (B_1 \oplus \cdots \oplus B_d) U^T = U V \Phi V^T U^T = W \Phi W^T
W \Theta W^* = U V \Theta V^* U^* = U \Theta V V^* U^* = U \Theta U^* = A
が成り立つ。□
ここで、合同の範囲をユニタリ合同から正則合同へ拡張する。ただし \( A, B \) の一方が正則であるという仮定を追加する。次の定理の (c) では新しい概念を必要とし、次節でより詳しく扱う。
定義 4.5.16.
行列 \( A \in M_n \) が共対角化可能 (condiagonalizable) であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) と対角行列 \( \Theta \in M_n \) が存在して、
A = S \Theta \bar{S}^{-1}
と表せることをいう。
次の定理の証明には、共対角化可能行列に関する3つの事実が使われる。
(1) 対角行列 \(\Theta\) の成分は任意の順序に並び替えることができる。すなわち、置換行列 \( P \) に対して、
A = S \Theta \bar{S}^{-1} = S P^T (P \Theta P^T) (S P^T)^{-1}
(2) \(\Theta\) は実非負の対角行列と仮定できる。すなわち、もし
\Theta = \operatorname{diag}(|\lambda_1| e^{i \theta_1}, \ldots, |\lambda_n| e^{i \theta_n})
とすると、
|\Theta| = \operatorname{diag}(|\lambda_1|, \ldots, |\lambda_n|)
および
D = \operatorname{diag}(|\lambda_1|^{1/2} e^{i \theta_1/2}, \ldots, |\lambda_n|^{1/2} e^{i \theta_n/2})
とおけば \( D = \bar{D}^{-1} \) であり、\(\Theta = D |\Theta| D\) となる。したがって、
A = S \Theta \bar{S}^{-1} = S D |\Theta| D \bar{S}^{-1} = (S D) |\Theta| (S D)^{-1}
(3) \( A \) が正則なら、\( A \) が共対角化可能であることと \( A^{-1} \) が共対角化可能であることは同値である。実際、
A = S \Theta \bar{S}^{-1} \quad \Leftrightarrow \quad A^{-1} = \bar{S} \Theta^{-1} S^{-1}
行列解析の総本山
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