4.4問題集
4.4.P1
行列 \(A \in M_n\) とする。
(a) \(A\) が対称であることと、ランクが同じ行列 \(S \in M_n\) が存在して
\(A = SS^T\) であることは同値であることを示せ。
(b) \(A\) が対称かつユニタリであることと、ユニタリ行列 \(V \in M_n\) が存在して
\(A = VV^T\) であることは同値であることを示せ。
4.4.P2
実表現を用いた (4.4.4c) のアプローチの詳細を示せ。
行列 \(A \in M_n\) を対称とする。
もし \(A\) が特異であり
\(\mathrm{rank} A = r\)
ならば、ユニタリ合同で
\(A' \oplus 0_{n-r}\) に変換でき、
ここで \(A' \in M_r\) は正則かつ対称である（2.6.P20(b)参照）。
次に \(A\) が対称かつ正則とする。
\(A = A_1 + i A_2\) と分け、\(A_1, A_2\) は実、
\(x, y \in \mathbb{R}^n\) とする。
実表現を考える:
R_2(A) =
\begin{pmatrix}
A_1 & A_2 \\
A_2 & -A_1
\end{pmatrix}
ここで \(A_1, A_2, R_2(A)\) は実対称である。
(a) \(R_2(A)\) は正則である。
(b) \(R_2(A) \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix}\)
であることと、
\(R_2(A) \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix} = -\lambda \begin{pmatrix} y \\ x \end{pmatrix}\)
が同値である。
したがって、\(R_2(A)\) の固有値は ± のペアで現れる。
(c) 正の固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) に対応する \(R_2(A)\) の直交固有ベクトルを
\(\begin{pmatrix} x_1 \\ -y_1 \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} x_n \\ -y_n \end{pmatrix}\)
とする。
行列
\(X = [x_1 \dots x_n]\)、
\(Y = [y_1 \dots y_n]\)、
\(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) とし、
V =
\begin{pmatrix} X & Y \\ -Y & X \end{pmatrix}, \quad
\Sigma = \Lambda \oplus (-\Lambda)
とする。
すると \(V\) は実直交行列であり、
\(R_2(A) = V \Sigma V^T\) が成り立つ。
さらに \(U = X - iY\) とすると、
\(V = R_1(\overline{U})\) （1.3.P20参照）。
なぜ \(U\) がユニタリかを説明し、
\(U \Lambda U^T = A\) を示せ。
4.4.P3
(4.4.4c) の別のアプローチの詳細を示せ。
行列 \(A \in M_n\) を対称とする。
(a) \(A\overline{A}\) はエルミートなので、
\(A\overline{A} = V \Sigma_1 V^*\) と書ける。
ここで \(V\) はユニタリ、\(\Sigma_1\) は実対角行列。
(b) \(V^* A \overline{V} = B\) は対称かつ正規なので、(2.5.P57) により
\(B = Q \Sigma Q^T\) と書ける。
ここで \(\Sigma\) は対角、\(Q\) は実直交行列。
(c) よって
\(A = (VQ) \Sigma (VQ)^T\) が成り立つ。
さらに \(\Sigma = E \Lambda E^T\) として、
\(E, \Lambda\) は対角かつユニタリ、
\(\Lambda\) は非負とすると、
\(A = U \Lambda U^T\) で
\(U = VQE\) となる。
4.4.P4
\(A\) が実対称の場合、(4.4.4c) は何を意味するか？
実対称行列のスペクトル分解 (2.5.11a) とどのように関係するか？
4.4.P5
行列 \(A \in M_n\) とする。
(a) (2.5.20(a)) を用いて、\(A\) が複素対称行列にユニタリ相似であることと、
対称ユニタリ行列によって \(A\) が \(A^T\) に相似であることは同値であることを示せ。
(b) \(A\) が \(A^T\) にユニタリ相似で \(n \in \{2, \dots, 7\}\) の場合、
\(A\) は複素対称行列にユニタリ相似であるが、\(n=8\) の場合はそうではない。
参照: S. R. Garcia and J. E. Tener, Unitary equivalence of a matrix to its transpose, J. Operator Theory 68 (2012) 179–203。
(c) しかし、\(A \oplus A^T\) は常に自分の転置にユニタリ相似である。
次の行列を用いて証明せよ：
\begin{pmatrix} 0 & I \\ I & 0 \end{pmatrix}
4.4.P6
行列 \(A \in M_2\) を (4.4.5) の記法で表す。
(a) \(A\overline{A}\) が 2 つの非実共役固有値を持つことは
\(-2|\det A| \lt \mathrm{tr}(A\overline{A}) \lt 2|\det A|\)
と同値である。
(b) \(A\overline{A}\) が 2 つの負の実固有値を持つことは
\(\mathrm{tr}(A\overline{A}) \le -2|\det A| \lt 0\)
と同値である。
4.4.P7
証明 (4.4.3) の還元アルゴリズムを
\(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ -i & 1 \end{pmatrix}\) に適用せよ。
結果、
\(\Lambda = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) および
\(U = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -i & i \end{pmatrix}\) で
\(A = U \Lambda U^T\) が成り立つことを示せ。
4.4.P8
証明 (4.4.3) の還元アルゴリズムを
\(A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}\) に適用せよ。
結果、\(\mathrm{diag}(\sqrt{2}, \sqrt{2})\) にユニタリ合同であることを示せ。
4.4.P9
行列 \(A \in M_n\) とする。
(a) \(U A U^*\) が実行列となるユニタリ行列
\(U \in M_n\) が存在することは、対称ユニタリ \(W \in M_n\) が存在して
\(\overline{A} = W A W^* = W A \overline{W}\) であることと同値である。
(b) \(U A U^T\) が実行列となるユニタリ行列
\(U \in M_n\) が存在することは、対称ユニタリ \(W \in M_n\) が存在して
\(\overline{A} = W A W^T = W A W\) であることと同値である。
4.4.P10
\(n > 1\) で \(v \in \mathbb{C}^n\) が非零の等方ベクトルである場合、対称行列
\(A = vv^T\) が対角化できない理由は？
そのジョルダン標準形は？
4.4.P11
行列 \(A \in M_n\) が対称かつ正則である場合、
\(A^{-1}\) も対称であることを示せ。
4.4.P12
(4.4.24) から、任意の正方複素行列はその転置と相似であることを導け。
4.4.P13
すべての実正方行列は実対称行列に相似か？
複素対称行列に相似か？
実相似行列を介してなぜか説明せよ。
4.4.P14
複素変数 \(z = [z_1 z_2 \dots z_n]^T\) のベクトルとし、関数 \(f(z)\) をある領域 \(D \subset \mathbb{C}^n\) 上の複素解析関数とする。
このとき \(H = [\partial^2 f / \partial z_i \partial z_j] \in M_n\) は、任意の \(z \in D\) で対称である。
(4.0.3) の議論から、線形偏微分作用素
\(L f = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(z) \partial^2 f / \partial z_i \partial z_j\)
の係数行列 \(A = [a_{ij}]\) は対称であると仮定できる。
各点 \(z_0 \in D\) において、ユニタリ変数変換 \(z \to U \zeta\) により、新しい座標系で \(L\) が対角化される理由を説明せよ。
すなわち、\(L f = \sum_{i=1}^n \sigma_i \partial^2 f / \partial \zeta_i^2\) であり、
\(\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \dots \ge \sigma_n \ge 0\)
が \(z = z_0\) で成立する。
4.4.P15
\(A, B \in M_n\) が共役正規行列であるとする。
\(A\overline{A}\) と \(B\overline{B}\) が同じ固有値を持つ場合に限り、\(A\) と \(B\) がユニタリ合同であることを説明せよ。
4.4.P16
(4.4.17) の 2×2 実直交ブロックは、非実非負でない \(A\overline{A}\) の固有値ペア \(\tau_{2j} e^{\pm 2i \theta_j}\), \(\theta_j \in (0, \pi/2]\) から得られる角度により決定される（\(a_j = \cos \theta_j, b_j = \sin \theta_j\)）。
前問を用いて、各ブロックが次のユニタリブロック（したがって合同正規）にユニタリ合同であることを示せ：
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ e^{2i\theta_j} & 0 \end{pmatrix}
この観察が、合同正規行列の標準形（4.4.17）の代替としてどのように導かれるかを説明せよ。
すなわち、\(A \in M_n\) が共役正規であることと、各ブロックが
\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatrix}
\quad \text{または} \quad
\tau \begin{pmatrix}0 & 1 \\ e^{i\theta} & 0\end{pmatrix}\\
\sigma, \tau, \theta \in \mathbb{R}, \sigma \ge 0, \tau \gt 0, 0 \lt \theta \le \piであるブロックの直和にユニタリ合同であることは同値である（4.4.28）。
各ブロックのパラメータが \(A\overline{A}\) の固有値によって一意に決定される理由を説明せよ。
4.4.P17
対称行列 \(A \in M_n\) の最大特異値を \(\sigma_1\) とする。
示せ：
\(\{ x^T A x : \|x\|_2 = 1 \} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| \le \sigma_1 \}\)。
この結果を (4.2.2) と比較せよ。
もし \(A\) が対称でない場合、何が言えるか？
4.4.P18
\(A \in M_n\) が共役正規であることと、実正規行列にユニタリ合同であることが同値である理由を説明せよ。
4.4.P19
\(A \in M_n\) とする。なぜ \(\mathrm{tr}(A\overline{A})\) は実数（必ずしも非負ではない）であるかを説明し、\(\mathrm{tr}(AA^*) \ge \mathrm{tr}(A\overline{A})\) を示せ。
4.4.P20
ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\)（3.1.2）と逆行列 \(K_m\)（0.9.5.1）を考える。
なぜ \(\hat{J}_m(\lambda) = K_m J_m(\lambda)\) が対称であり、\(\lambda\) が実の場合は実対称となるか説明せよ。
行列 \(A \in M_n\) がジョルダン標準形 (3.1.12) を持つとし、\(\hat{J} = K_{n_1} J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus K_{n_q} J_{n_q}(\lambda_q)\)、\(\hat{K} = K_{n_1} \oplus \cdots \oplus K_{n_q}\) とすると、なぜ \(A = (S \hat{K} S^T)(S^{-T} \hat{J} S^{-1})\) が二つの複素対称行列の積として表せるか説明せよ。
これは (4.4.24) に依存しない (4.4.25) の証明である。
4.4.P21
実ジョルダンブロック \(C_m(a,b)\) と逆行列 \(K_{2m}\)（0.9.5.1）を考える。
なぜ \(\hat{C}_m(a,b) = K_{2m} C_m(a,b)\) が実対称であるか説明せよ。
行列 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) とし、\(S \in M_n(\mathbb{R})\) が正則で \(S^{-1} A S\) が実ジョルダン行列 (3.4.1.6) に等しいとする。
\(\hat{J} = K_{2n_1} C_{n_1}(a_1,b_1) \oplus \cdots \oplus K_{2n_p} C_{n_p}(a_p,b_p) \oplus K_{m_1} J_{m_1}(\mu_1) \oplus \cdots \oplus K_{m_r} J_{m_r}(\mu_r)\)、
\(\hat{K} = K_{2n_1} \oplus \cdots \oplus K_{2n_p} \oplus K_{m_1} \oplus \cdots \oplus K_{m_r}\)
とすると、なぜ \(A = (S \hat{K} S^T)(S^{-T} \hat{J} S^{-1})\) が二つの実対称行列の積として表せるか説明せよ。
4.4.P22
\(A \in M_n\) が対称で \(A^2 = I\) とする。
なぜ複素直交行列 \(Q \in M_n\) と整数 \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) が存在して、
\(A = Q(-I_k \oplus I_{n-k}) Q^T\) と表せるか説明せよ。
4.4.P23
\(A \in M_n\) がテプリッツ行列、
\(K_n \in M_n\) が逆行列とする。
なぜ \(A = (K_n U) \Sigma U^T\) の特異値分解を持つか、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) の存在を説明せよ。
4.4.P24
\(\lambda\) を \(A \in M_n\) の固有値とする。
右固有ベクトル \(x\) と左固有ベクトル \(\overline{x}\) を考える。
(a) \(x\) が等方的 (0.2.5) である場合、\(\lambda\) は単純固有値であり得ないことを示せ。
(b) \(\lambda\) が幾何的重複度 1 で単純固有値でない場合、\(x\) が等方的であることを示せ。
4.4.P25
対称行列 \(A \in M_n\) の固有値・固有ベクトルペアを \((\lambda, x)\) とする。
(a) なぜ \(\overline{x}\) が \(A\) の左固有ベクトルとなるか説明せよ。
(b) \(x\) が等方的である場合、前問を用いて \(\lambda\) が \(A\) の単純固有値ではないことを示せ。
特に、\(A\) は \(n\) 個の異なる固有値を持つことはできない。
(c) \(\lambda\) の幾何的重複度が 1 で単純固有値でない場合、なぜ \(x\) が等方的か説明せよ。
(d) (4.4.24) の直前の演習で構築された対称ブロック \(S_m J_m(\lambda) S_m^{-1}\) が、\(m > 1\) の場合に等方的固有ベクトルを持つ理由を説明せよ。
4.4.P26
実行列 \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) が複素直交行列で相似であることと、実直交行列で相似であることが同値であることを示せ。
4.4.P27
\(A = [a_{ij}] \in M_n\) を対称行列とし、\(A = U \Sigma U^T\) と表す。
ただし、
\(U = [u_{ij}]\) はユニタリ行列、
\(\Sigma = \mathrm{diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_n)\) は非負対角行列であり、
\(\sigma_1 \ge \dots \ge \sigma_n \ge 0\) である。
(a) なぜ
\(\mathrm{diag}\,A = S \mathrm{diag}\,\Sigma = \sum_{j=1}^n \sigma_j s_j\) であり、
複素行列 \(S = [u_{ij}^2] = [s_1 \dots s_n] \in M_n\) の各行・列の絶対値和が 1 であるか説明せよ。(4.3.P10 と比較せよ)。
(b) 実数 \(\theta_1, \dots, \theta_n\) を選び、
\(e^{-i\theta_j} u_{j1}^2 = |u_{j1}^2|\) として
\(z = [e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}]^T\) とする。
なぜ
\(\sigma_1 = \sigma_1 z^* s_1 \)
\(= z^* \mathrm{diag}\,A - \sigma_2 z^* s_2 - \dots - \sigma_n z^* s_n \)
\(\le |a_{11}| + \dots + |a_{nn}| + \sigma_2 + \dots + \sigma_n\)
が成り立つか説明せよ。
(c) \(A\) の主対角成分がすべて 0 の場合、なぜ特異値は
\(\sigma_1 \le \sigma_2 + \dots + \sigma_n\)
の不等式を満たすか説明せよ。
4.4.P28
\(A \in M_n\) とする。
なぜ \(\det(I + A \overline{A})\) が実数かつ非負であるか示せ。
4.4.P29
\(A_{ij} \in M_n, i,j=1,2\) とし、
\(A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \in M_{2n}\)
とする。
\(A\) が四元数型行列であるとは、
\(A_{21} = -\overline{A_{12}}\) および \(A_{22} = \overline{A_{11}}\) を満たすことをいう。
四元数型行列 \(A = [A_{ij}]_{i,j=1}^2\) は、四元数行列 \(A_{11} + A_{12} j\) の複素表現とも呼ばれる。
(a) なぜ実行列 \(A = [A_{ij}]_{i,j=1}^2\) が (1.3.P20) で議論した複素表現 \(R_1(A_{11} + i A_{12})\) に一致するか説明せよ。
(b) \(A \in M_{2n}\) が四元数型行列なら、\(\det A\) が実かつ非負であることを示せ。
(c) \(S_{2n} = \begin{pmatrix} 0_n & I_n \\ -I_n & 0_n \end{pmatrix}\) とする。なぜ \(A\) が四元数型であることと \(S_{2n} A = \overline{A} S_{2n}\) が同値であるか示せ。
(d) \(A, B \in M_{2n}\) が四元数型行列、\(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\)、非可換変数の多項式 \(p(s,t)\) を考える。(c) の恒等式を用いて、\(\overline{A}, A^T, A^*, AB, \alpha A + \beta B, p(A,B)\) も四元数型行列であることを示せ。
(e) (c) を用いて、四元数型行列 \(A \in M_{2n}\) は \(S_{2n}\) によって \(\overline{A}\) に相似であり、ジョルダン標準形の非実ブロックが共役ペアで現れる理由を説明せよ。なぜ \(A\) は実行列に相似か？
(f) \(A = [A_{ij}]_{i,j=1}^2 \in M_{2n}\) が実行列の四元数型である場合、なぜそのジョルダン標準形は \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\overline{\lambda})\) のペアのみで構成されるか、また \(A\) が \(F \oplus \overline{F}\) に相似である理由を説明せよ。ここで \(F = A_{11} + i A_{12}\)。
(g) \(A \in M_n\) が複素でも、この主張が成り立つことが知られている：四元数型行列のジョルダン標準形は \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\overline{\lambda})\) のペアのみで構成され、すなわち \(A\) は \(F \oplus \overline{F}\) に相似である。なぜこれにより \(\det A\) が実かつ非負であることが確認できるか？
4.4.P30
なぜ \(A \in M_n\) の次の性質が相似不変量（すなわち、相似同値類の一つの行列が持つ場合、その類のすべての行列が持つ）であるか説明せよ：
\(A = BC\) と書け、かつ一方の因子が対称、他方が斜対称（または両方が斜対称、または両方が対称）である場合。
なぜジョルダン標準形に対して、これら三通りの分解が可能かつ必要十分な性質がそれぞれ存在すると予想されるか？
4.4.P31
行列 \(A \in M_n\) のジョルダン標準形のどの性質が、両方の因子が対称となる形で \(A = BC\) と書けるために必要かつ十分か？
4.4.P32
\(A \in M_n\) は、対称行列と斜対称行列の積として表せるのは、かつその場合に限り、\(A\) が \(-A\) に相似である場合であることが知られている。
つまり、\(A\) のジョルダン標準形の非特異部分が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(-\lambda)\) のペアのみで構成される場合に限る。
この主張の「必要条件」の部分を証明せよ。
4.4.P33
\(A \in M_n\) が二つの斜対称行列の積であるのは、かつその場合に限り、\(A\) のジョルダン標準形の非特異部分が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda)\) のペアのみで構成され、固有値 0 に関連するセグレ特性 (3.1.19) が \(s_{2k-1}(A,0) - s_{2k}(A,0) \le 1\) を満たす場合であることが知られている。
(a) この主張の半分の特別な場合を証明せよ：\(A \in M_n\) が非特異かつジョルダン標準形が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda)\) のペアのみで構成される場合、\(n\) は偶数であり、\(A\) は次のブロック行列に相似である
\begin{align}
\begin{pmatrix} F & 0 \\ 0 & F \end{pmatrix}
& \sim
\begin{pmatrix} F & 0 \\ 0 & F^T \end{pmatrix} \notag \\
& =
\begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & -F^T \\ F & 0 \end{pmatrix} \notag \\
& =
\begin{pmatrix} 0 & -F \\ F^T & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & I \\ -I & 0 \end{pmatrix} \notag
\end{align}(b) 固有値 0 に関連するウェイヤ特性 \(w_p(A,0), p=1,2,\dots\) を考える。
もし \(w_p(A,0)\) が奇数であれば、すべての \(p \ge 2\) に対して \(w_{p-1}(A,0) > w_p(A,0)\) が成り立つ場合に限り、\(s_{2k-1}(A,0) - s_{2k}(A,0) \le 1\) が成り立つことを示せ。
すなわち、ジョルダン標準形において、サイズ \(p-1\) の零冪ブロックが少なくとも 1 つ含まれる。
4.4.P34
複素対称行列は任意のジョルダン標準形を持てるが (4.4.24)、複素斜対称行列のジョルダン標準形は特別な形式を持つ。それは次の3種類の直和ブロックのみから構成される：
(a) \(\lambda \neq 0\) に対する \(J_k(\lambda) \oplus J_k(-\lambda)\) のペア、
(b) \(k\) が偶数の場合の \(J_k(0) \oplus J_k(0)\) のペア、
(c) \(k\) が奇数の場合の \(J_k(0)\)。なぜ複素斜対称行列 \(A\) のジョルダン標準形が \(A \sim -A\) を保証するか説明せよ。また、この事実を (3.2.3.1) から導け。
4.4.P35
なぜ実直交行列は対角化可能か？
そのジョルダン標準形は？実ジョルダン標準形は？
4.4.P36
非特異行列 \(A \in M_n\) が与えられ、非特異複素対称行列 \(S \in M_n\) が存在して \(A^T = S A^{-1} S^{-1}\) が成り立つとする。
次の手順で \(A\) が複素直交行列に相似であることを示せ：
\(S = Y^T Y\) を満たす \(Y \in M_n\) を選び (4.4.P1)、なぜ \(Y A Y^{-1}\) が複素直交行列となるか説明せよ。
4.4.P37
0 でない \(\lambda \in \mathbb{C}\) と整数 \(m \ge 2\) が与えられたとする。
ジョルダンブロック \(J_m(\lambda)\) に相似な複素対称行列 \(B \in M_n\) が与えられ、\(A = B \oplus B^{-1}\) とする。
(a) なぜ \(A^{-1} \sim A^T\) が逆行列 \(K_{2m} = \begin{pmatrix} 0 & I_m \\ I_m & 0 \end{pmatrix}\) によって成り立つか説明せよ。
(b) 前問を用いて、なぜ \(A\) が複素直交行列に相似か説明せよ。
(c) ジョルダン標準形が \(J_2(2) \oplus J_2(1/2)\) である複素直交行列 \(Q \in M_4\) が存在する理由を説明せよ。特に (4.4.P35) と異なり、\(Q\) は対角化可能でない。複素直交行列のジョルダン標準形は次の5種類の直和ブロックのみからなることが知られている：\(J_k(\lambda) \oplus J_k(\lambda^{-1}), 0 \neq \lambda \neq \pm 1\); \(J_k(1) \oplus J_k(1), k\) 偶数; \(J_k(-1) \oplus J_k(-1), k\) 偶数; \(J_k(1), k\) 奇数; \(J_k(-1), k\) 奇数。
4.4.P38
\(A \in M_n\) とし、次の行列を定義する：
A_{2n} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}.
行列 \(A\) が QS 分解を持つとは、複素直交行列 \(Q \in M_n\) と複素対称行列 \(S \in M_n\) が存在して \(A = QS\) と書けることをいう。
既知の事実として、任意の \(k = 1, \dots, n\) に対して \(\text{rank}(AA^T)^k = \text{rank}(A^T A)^k\) が成り立つ場合に限り、\(A\) は QS 分解を持つ。
(a) このランク条件を用いて、\(A\) が QS 分解を持つことと \(AA^T\) が \(A^T A\) に相似であることが同値であることを示せ。
(b)
\begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
は QS 分解を持つか？
(c) \(A\) が非特異と仮定する。なぜ QS 分解を持つのか？この場合、ある多項式 \(p(t)\) が存在して \(S = p(A^T A)\) と書ける。さらに \(A\) が実行列なら、\(Q\) と \(S\) は共に実行列として選ぶことも可能である（Horn and Johnson, 1991, 定理6.4.16 を参照）。
(d) \(A\) が QS 分解を持つ場合、類似行列 \(Q \oplus I\) を用いて
\begin{pmatrix} 0 & S \\ S & 0 \end{pmatrix}
に相似であることを示せ。
なぜ \(A\) のジョルダン標準形が \(J_k(\lambda) \oplus J_k(-\lambda)\) の直和のみで構成されるか説明せよ。単位行列の特別な QS 分解は (2.5.20(b)) を参照。
4.4.P39
前問の QS 分解を用いて、(4.4.27) のやや強いバージョンを証明せよ：
\(A \in M_n\) が対称で、ある非特異行列 \(B\) と対角行列 \(\Lambda\) に対して \(A = B \Lambda B^{-1}\) と表せるとする。
ここで \(B = QS\) と書き、\(Q\) は複素直交行列、\(S\) は対称行列とする。
このとき
A = B \Lambda B^{-1} = Q \Lambda Q^T
が成り立つ。
4.4.P40
\(A \in M_n\) とし、次の行列を定義する：
A_{2n} = \begin{pmatrix} 0 & A \\ \bar{A} & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}.
(a) \(A\) が正規行列であることと共役正規であることは同値である。
(b) \(A\) が共役正規であることと正規であることも同値である。
4.4.P41
\(A \in M_n\) に対して \(A \bar{A}\) が正規（すなわち \(A\) は合同正規）であるのは、かつその場合に限り、\(A\) は各ブロックが
\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatrix} \quad \text{または} \quad \tau \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \mu & 0 \end{pmatrix}, \quad \\
\sigma,\tau \in \mathbb{R}, \sigma \ge 0, \tau > 0, \mu \in \mathbb{C}, \mu \neq 1
であるブロックの直和にユニタリ合同で相似である場合である（4.4.29）。
この直和は、ブロックの順序を入れ替えたり、任意の非零パラメータ \(\mu\) を \(\mu^{-1}\) に置き換え、対応して \(\tau\) を \(\tau |\mu|\) に置き換えることを除いて、\(A\) により一意に定まる。
(a) 正準形 (4.4.28) および (4.4.29) を用いて、任意の共役正規行列が合同正規であることを示せ。
(b) 共役正規性の定義と (2.5.P27) の合同正規行列の特徴づけを用いて、異なる方法で証明せよ。
4.4.P42
\(A \in M_n\) とし、\(A \bar{A}\) がエルミート行列であると仮定する。
正準形 (4.4.29) から、\(A\) は各ブロックが
\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatrix} \quad \text{または} \quad \tau \begin{pmatrix} 0 & 1
\mu & 0 \end{pmatrix}, \notag \\
\quad \sigma, \tau, \mu \in \mathbb{R}, \sigma \ge 0, \tau > 0, \mu \in [-1,1)
であるブロックの直和にユニタリ合同で相似であることが分かる。
この直和はブロックの順序の入れ替えを除いて一意に定まる。
4.4.P43
\(A \in M_n\) とし、\(A \bar{A}\) が半正定値であると仮定する。
正準形 (4.4.30) から、\(A\) は各ブロックが
\begin{pmatrix}\sigma\end{pmatrix} \quad \text{または} \quad \tau \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ \mu & 0 \end{pmatrix}, \quad \notag \\
\sigma, \tau, \mu \in \mathbb{R}, \sigma \ge 0, \tau > 0, \mu \in [0,1)
であるブロックの直和にユニタリ合同で相似であることが分かる。
この直和はブロックの順序の入れ替えを除いて一意に定まる。
4.4.P44
\(A \in M_n\) に対して、
(a) \(A \bar{A} = AA^*\) が成り立つのは、かつその場合に限り、\(A\) が対称である場合である。
(b) \(A \bar{A} = -AA^*\) が成り立つのは、かつその場合に限り、\(A\) が斜対称である場合である。
4.4.P45
\(U, V \in M_n\) がユニタリかつ対称である場合、\(U\) と \(V\) はユニタリ合同であることを示せ。
4.4.P46
この問題は (2.5.P69) および (2.5.P70) を基にしている。
(a) \(A, B \in M_n\) がユニタリ合同であるとき、三組 \((AA^*, BB^*)\)、\((A \bar{A}, B \bar{B})\)、および \((A^T \bar{A}, B^T \bar{B})\) が同時にユニタリ相似であることを示せ。
既知の事実として、この必要条件は \(A\) と \(B\) がユニタリ合同であるための十分条件でもある。
(b) 次の 4n×4n のブロック上三角行列を定義する：
\begin{align}
K_A & = \begin{bmatrix} 0 & I & AA^* \\ A \bar{A} & 0 & I \\ A^T \bar{A} & 0 & I \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix}, \notag \\
K_B &= \begin{bmatrix} 0 & I & BB^* \\ B \bar{B} & 0 & I \\ B^T \bar{B} & 0 & I \\ 0 & 0 & I \end{bmatrix} \notag
\end{align}なぜ \(A\) と \(B\) がユニタリ合同であることと、\(K_A\) と \(K_B\) がユニタリ相似であることが同値であるのかを説明せよ。
4.4.P47
(2.5.P69) の定義と表記を用いる。
(a) \(M_A \bar{W} = W M_B\) のとき、\(W\) はブロック上三角であり、奇数の場合は \(W_{ii} = W_{11}\)、偶数の場合も \(W_{ii} = W_{11}\) であることを示せ。
(b) \(W\) がユニタリで \(M_A \bar{W} = W M_B\)（すなわち \(M_A = W M_B W^T\)、よって \(M_A\) は \(W\) を介して \(M_B\) にユニタリ合同）であると仮定する。
このとき \(W_{11} = U\) がユニタリであり、
奇数の場合 \(W_{ii} = U\)、
偶数の場合 \(W_{ii} = \bar{U}\) であり、
\(W = U \oplus \bar{U} \oplus U \oplus \cdots\) がブロック対角であることを示せ。
さらに：
・\(i\) が奇数で \(j\) が偶数の場合、
\(A_{ij} = U B_{ij} U^*\)（\(U\) を介した同時ユニタリ相似）
・\(i\) と \(j\) が共に奇数の場合、
\(A_{ij} = U B_{ij} U^T\)（\(U\) を介した同時ユニタリ合同）
・\(i\) と \(j\) が共に偶数の場合、
\(A_{ij} = \bar{U} B_{ij} U^*\)（\(\bar{U}\) を介した同時ユニタリ合同）
・\(i\) が偶数で \(j\) が奇数の場合、
\(A_{ij} = \bar{U} B_{ij} U^T\)（\(\bar{U}\) を介した同時ユニタリ相似）
(c) (a) および (b) の考え方を、与えられた行列の組が同時にユニタリ相似／合同であるかを判定するアルゴリズムにどのように利用できるか説明せよ。
4.4.P48
\(A \in M_n\) が異なる特異値を持つと仮定する。
(4.4.16) を用いて、\(A\) が共役正規であることと対称であることが同値であることを示せ。
4.4.P49
\(A \in M_n\) が、単位行列および以下の形式のブロックの直和である非負準対角行列 \(\Phi\) であるとする：
\begin{pmatrix} 0 & \sigma \\ -\sigma^{-1} & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma > 1
\(U \in M_n\) がユニタリのとき、
\(A = U \Phi U^T\) が共役反転（coninvolutory）行列であることを示せ。
既知の事実として、任意の共役反転行列はこの形式の特別な特異値分解を持つ。
この分解は複素対称行列の特別な特異値分解 (4.4.4c) の類似である。
参考文献および追加読書。
任意の正方複素行列に対してユニタリ合同で達成できるブロック上三角形形式については、D. C. Youla, "A normal form for a matrix under the unitary congruence group", Canad. J. Math. 13 (1961) 694–704 を参照せよ。Youla の 2×2 の対角ブロックは (4.4.9) のものとは異なるが、もちろんユニタリ合同である。
ユニタリ合同、共役正規行列、合同正規行列、および (4.4.P41) の標準形の証明については、R. A. Horn および V. V. Sergeichuk, "Canonical forms for unitary congruence and ∗congruence", Linear Multilinear Algebra 57 (2009) 777–815 を参照せよ。正規行列と共役正規行列の類似性、および共役正規性の 45 条件については、H. Faßbender および Kh. Ikramov, "Conjugate-normal matrices: A survey", Linear Algebra Appl. 429 (2008) 1425–1441 を参照せよ。
Leon Autonne (1915) は複素対称行列の標準形 (4.4.4c)（Autonne–Takagi 分解）を発見したと考えられる（2.6 の「Notes and Further Readings」を参照）。その後、Takagi (1925)、Jacobson (1939)、Siegel (1943; 4.4.P3 を参照)、Hua (1944)、Schur (1945; 4.4.P2 を参照)、Benedetti と Cragnolini (1984) などによる独立再発見と異なる証明が多く行われた。
複素正方行列に対する複素直交相似の標準形については、N. H. Scott, "A new canonical form for complex symmetric matrices", Proc. R. Soc. Lond. Ser. A 440 (1993) 431–442 を参照せよ。この標準形は (4.4.P24) および (4.4.P25) の情報を利用している。
四元数型行列のジョルダン標準形に関する (4.4.P29(g)) の主張の証明については、F. Zhang および Y. Wei, "Jordan canonical form of a partitioned complex matrix and its application to real quaternion matrices", Comm. Algebra 29 (2001) 2363–2375 を参照せよ。
(4.4.P31 から P33) で扱った行列積の特徴付けは、1922 年（H. Stenzel）にはすでに知られていた。現代的な証明は、L. Rodman, "Products of symmetric and skew-symmetric matrices", Linear Multilinear Algebra 43 (1997) 19–34 を参照せよ。
(4.4.P33(b)) で主張された同値性は Ross Lippert によるものである。ジョルダン標準形に関する (4.4.P34) および (4.4.P38) の主張は、Gantmacher (1959) 第 XI 章、および R. A. Horn と D. I. Merino, "The Jordan canonical forms of complex orthogonal and skew-symmetric matrices", Linear Algebra Appl. 302–303 (1999) 411–421 にて証明されている。
QS 分解に関する詳細については、Horn and Johnson (1991) の定理 6.4.16 を参照せよ。ランク条件の証明は I. Kaplansky, "Algebraic polar decomposition", SIAM J. Matrix Analysis Appl. 11 (1990) 213–217 にある。また、R. A. Horn と D. I. Merino, "Contragredient equivalence: A canonical form and some applications", Linear Algebra Appl. 214 (1995) 43–92 の定理 13 も参照され、ここでは追加の同値条件 A = P A^T Q または A = Q A^T Q（P, Q は複素直交行列）が示されている。
(4.4.P41) の標準形の導出については、R. A. Horn および V. V. Sergeichuk, "Canonical forms for unitary congruence and ∗congruence", Linear Multilinear Algebra 57 (2009) 777–815 の定理 7.1 を参照せよ。
(4.4.P46) で言及されたユニタリ合同の必要十分条件は、R. A. Horn および Y. P. Hong, "A characterization of unitary congruence", Linear Multilinear Algebra 25 (1989) 105–119 で証明されている。
ユニタリ合同、同時ユニタリ合同、同時ユニタリ相似、および (2.5.P69) のブロック行列 M_A についての詳細は、T. G. Gerasimova, R. A. Horn, および V. V. Sergeichuk, "Simultaneous unitary equivalences", Linear Algebra Appl. (in press) を参照せよ。
(4.4.P49) の特別な特異値分解は L. Autonne により発見された。証明については、R. A. Horn および D. I. Merino, "A real-coninvolutory analog of the polar decomposition", Linear Algebra Appl. 190 (1993) 209–227 の定理 1.5 を参照せよ。
行列解析の総本山
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