[行列解析4.4.9]定理（Youla）

4.4.9

定理 4.4.9（Youla）。

\( A \in M_n \) を与える。\( p \in \{0,1,\ldots,n\} \) とし、\( A\overline{A} \) がちょうど \( p \) 個の実数の非負固有値をもつと仮定する。このとき、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して、

A = U \begin{bmatrix} 0 & \Lambda \\ & \Xi \end{bmatrix} U^T

ここで、\( p=0 \) のとき \(\Lambda\) は存在せず、\(\Lambda = [d_{ij}] \in M_p\) は上三角行列であり、\( d_{ii} \geq 0 \ (i=1,\ldots,p) \)、かつ \( d_{11}^2,\ldots,d_{pp}^2 \) は \( A\overline{A} \) の非負固有値である。また、\( p=n \) のとき \(\Xi\) は存在しない。もし \( q=n-p \geq 2 \) が偶数ならば、\(\Xi = [\xi_{ij}]_{i,j=1}^{q/2} \in M_q\) は \(2 \times 2\) ブロック上三角行列であり、各 \( j=1,\ldots,q/2 \) について \(\Xi_{jj}\overline{\Xi_{jj}}\) の固有値は非実複素数の共役ペアか、または等しい実負数のペアである。

(a) もし \(\Xi_{jj}\overline{\Xi_{jj}}\) が非実共役の固有値対をもつならば、\(\Xi_{jj}\) は次のいずれかの形に選べる：

\Xi_{jj} = \begin{bmatrix} \sigma_1 & \zeta \\ -\zeta & \sigma_2 \end{bmatrix}, \quad \sigma_1, \sigma_2 \in \mathbb{R}, \ \zeta \in \mathbb{C}, \ \sigma_1 > \sigma_2 \geq 0, \ 2|\sigma_1 \overline{\zeta} + \sigma_2 \zeta| > \sigma_1^2 - \sigma_2^2 \tag{4.4.11a}

または

\Xi_{jj} = \begin{bmatrix} \sigma & \zeta \\ -\zeta & \sigma \end{bmatrix}, \quad \sigma \in \mathbb{R}, \ \zeta \in \mathbb{C}, \ \sigma > 0, \ \Re(\zeta) \neq 0 \tag{4.4.11b}

(b) もし \(\Xi_{jj}\overline{\Xi_{jj}}\) が等しい実負の固有値対をもつならば、\(\Xi_{jj}\) は次のいずれかの形に選べる：

\Xi_{jj} = \begin{bmatrix} \sigma & i\xi \\ -i\xi & \sigma \end{bmatrix}, \quad \sigma,\xi \in \mathbb{R}, \ \xi > \sigma > 0 \tag{4.4.12a}

または

\Xi_{jj} = \begin{bmatrix} 0 & \xi \\ -\xi & 0 \end{bmatrix}, \quad \xi \in \mathbb{R}, \ \xi > 0 \tag{4.4.12b}

証明.

定理 4.4.3 により、\( A \) は次の形のブロック上三角行列にユニタリ合同である：

\begin{bmatrix} 0 & C \end{bmatrix}

ここで、\(\Lambda \in M_p\) は既述の性質をもつ。したがって、\( C \in M_q \) で \( q=n-p > 0 \)、かつ \( C\overline{C} \) が非負固有値をもたない場合のみを考えればよい。もし \( q=1 \) で \( C=[c] \) なら、\( C\overline{C} = [|c|^2] \) は非負固有値をもつので矛盾し、したがって \( q \geq 2 \) である。

次の簡約を考える。\( \lambda \) を \( C\overline{C} \) の固有値とすると、\(\lambda\) は非実、あるいは実で負である。\( \lambda \) に対応する単位固有ベクトル \( x \) をとり、部分空間 \( S = \mathrm{span}\{C\overline{x}, x\} \subset \mathbb{C}^q \) を考える。補題 4.2.2 より、\(\dim S = 2\) かつ \( S \) は \( C \)-共不変、すなわち \( C\overline{S} \subset S \) である。直交規格化基底 \(\{u,v\}\) をとり、\( V=[u \ v \ v_3 \ \ldots \ v_n] \in M_n \) をユニタリとする。このとき、\( C\overline{V} \) の最初の2列は \( S \) に属し、したがって \( v_3,\ldots,v_n \) に直交する。よって

V^* C \overline{V} = \begin{bmatrix} C_{11} & 0 \\ & D \end{bmatrix}

ここで、\( C_{11} \in M_2 \)、\( D \in M_{q-2} \) であり、\( C_{11}\overline{C_{11}} \) と \( D\overline{D} \) はどちらも実の非負固有値をもたない。(4.4.5d) より、\(\lambda\) が非実ならば \( C_{11}\overline{C_{11}} \) の固有値は \(\lambda, \overline{\lambda}\) であり、\(\lambda\) が実ならば \( C_{11}\overline{C_{11}} \) の重複した負の固有値となる。

もし \( q-2=0 \) なら終了する。そうでなければ \( q-2 \geq 2 \) であり、\( q-2=1 \) は \( D\overline{D} \) が非負固有値をもたないので許されない。したがって、簡約アルゴリズムを \( D \) に適用できる。有限回の簡約の後、\( C \) はユニタリ合同により \( 2 \times 2 \) ブロック上三角行列 \(\hat{C}=[C_{ij}]_{i,j=1}^{q/2}\) に変形される。

各 \( 2 \times 2 \) 行列 \( C_{jj}\overline{C_{jj}} \) は非実共役の固有値対か、または等しい実負の固有値対をもつ。したがって (4.4.5) により、あるユニタリ行列 \( U_j \in M_2 \) が存在して、各 \( U_j^* C_{jj} \overline{U_j} \) は (4.4.7), (4.4.8a), (4.4.8b) の形をもつ。最後に \( U = U_1 \oplus \cdots \oplus U_{q/2} \) とすれば、\(\Xi = U^* \hat{C} \overline{U}\) は \( C \) とユニタリ合同であり、主張通りのブロック上三角構造をもつ。