[行列解析4.3.39]系

4.3.39

系 4.3.39.

\(A \in M\_n\) をエルミート行列とし、\(1 \leq m \leq n\) とする。このとき次が成り立つ。

\lambda\_{1}(A) + \cdots + \lambda\_{m}(A) = \min\_{\substack{V \in M\_{n,m} \\ V^{*}V = I\_m}} \operatorname{tr}(V^{*}AV)

\lambda\_{n-m+1}(A) + \cdots + \lambda\_{n}(A) = \max\_{\substack{V \in M\_{n,m} \\ V^{*}V = I\_m}} \operatorname{tr}(V^{*}AV) \tag{4.3.40}

各 \(m = 1, \ldots, n-1\) に対して、(4.3.40) の最小値または最大値は、\(A\) の最小の \(m\) 個または最大の \(m\) 個の固有値に対応する直交規格化された固有ベクトルを列にもつ行列 \(V\) によって達成される。\(m = n\) の場合、任意のユニタリ行列 \(V\) に対して \(\operatorname{tr}(V^{*}AV) = \operatorname{tr}(AVV^{*}) = \operatorname{tr}(A)\) が成り立つ。

エルミート行列の固有値と主対角成分はいずれも実数であり、それぞれの総和は一致する。エルミート行列の主対角成分と固有値との間の正確な関係はメジャライゼーション（majorization）の概念を含み、これは変分的な恒等式 (4.3.40) によって動機づけられる。