[行列解析4.3.34]系

4.3.34

系 4.3.34.

\(A = [a\_{ij}] \in M\_n\) をエルミート行列とし、(4.3.29) のように分割されているとする。また、\(A\) の固有値は (4.2.1) のように順序づけられているとする。このとき次が成り立つ。

a\_{11} + a\_{22} + \cdots + a\_{mm} \geq \lambda\_{1}(A) + \cdots + \lambda\_{m}(A) \tag{4.3.35a}

a\_{11} + a\_{22} + \cdots + a\_{mm} \leq \lambda\_{n-m+1}(A) + \cdots + \lambda\_{n}(A) \tag{4.3.35b}

(4.3.35a, b) のいずれかが等号成立の場合、\(C = 0\) であり、\(A = B \oplus D\) となる。さらに一般に、\(k \geq 2\) の場合を考え、\(A = [A\_{ij}]\_{i,j=1}^k\) と分割し、各 \(A\_{ii} \in M\_{n\_i}\) とする。このとき、もし

\operatorname{tr} A\_{11} + \cdots + \operatorname{tr} A\_{pp} = \sum\_{i=1}^{n\_1 + \cdots + n\_p} \lambda\_i(A) \tag{4.3.36a}

が \(p = 1, \ldots, k-1\) の各場合に成り立つならば、\(A = A\_{11} \oplus \cdots \oplus A\_{kk}\) である。すなわち、\(A\_{11}\) の固有値は \(\lambda\_{1}(A), \ldots, \lambda\_{n\_1}(A)\)、\(A\_{22}\) の固有値は \(\lambda\_{n\_1+1}(A), \ldots, \lambda\_{n\_1+n\_2}(A)\)、以下同様である。

また、もし

\operatorname{tr} A\_{11} + \cdots + \operatorname{tr} A\_{pp} = \sum\_{i=n-n\_1-\cdots-n\_p+1}^{n} \lambda\_i(A) \tag{4.3.36b}

が \(p = 1, \ldots, k-1\) の各場合に成り立つならば、同様に \(A = A\_{11} \oplus \cdots \oplus A\_{kk}\) である。このとき \(A\_{11}\) の固有値は \(\lambda\_{n-n\_1+1}(A), \ldots, \lambda\_{n}(A)\)、\(A\_{22}\) の固有値は \(\lambda\_{n-n\_1-n\_2+1}(A), \ldots, \lambda\_{n-n\_1}(A)\)、以下同様である。

証明.

(4.3.30) の左側の不等式により、各 \(i = 1, \ldots, m\) について \(\lambda\_i(B) \geq \lambda\_i(A)\) が成り立つ。したがって \(\operatorname{tr} B = \lambda\_1(B) + \cdots + \lambda\_m(B) \geq \lambda\_1(A) + \cdots + \lambda\_m(A) = \operatorname{tr} B\) より、すべての \(i = 1, \ldots, m\) について \(\lambda\_i(A) = \lambda\_i(B)\) が従う。同様に、(4.3.30) の右側の不等式により、\(\lambda\_i(B) = \lambda\_{i+n-m}(A)\) が成り立つ。(4.3.30, 31, 32) の等号成立の議論により、\(B\) の直交規格化された固有ベクトル \(\xi\_1, \ldots, \xi\_m\) が存在し、それぞれについて \(C^{*}\xi\_j = 0\) が成り立つ。したがって \(\operatorname{rank} C = \operatorname{rank} C^{*} \leq m - \dim(\ker C^{*}) \leq m - m = 0\) であるから、結論として \(C = 0\) となる。

(4.3.36a) が成り立つ場合に \(A = A\_{11} \oplus \cdots \oplus A\_{kk}\) が成立することは、(4.3.35a) の等号成立の場合から帰納法で示される。同様に (4.3.36b) の場合も (4.3.35b) の等号成立を用いて帰納法で証明できる。

(4.3.28) の系として、次の結果はポアンカレの分離定理として知られている。