4.2問題集
4.2.P1
(4.2.7–8) の主張が次の式と同値であることを説明しなさい。
\lambda_k = \min_{\substack{S:\,\dim S = k}} \;\max_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^{*} A x
\lambda_k = \max_{\substack{S:\,\dim S = n-k+1}} \;\min_{\substack{x \in S \\ \lVert x \rVert_2 = 1}} x^{*} A x
4.2.P2
\( A \in M_n \) がエルミート行列で、少なくとも1つの固有値が正であると仮定する。このとき、次を示しなさい。
\lambda_{\max}(A) = \max \left\{ \tfrac{1}{x^{*}x} : x^{*} A x = 1 \right\}
4.2.P3
\( A = [a_{ij}] \in M_n \) がエルミート行列のとき、(4.2.2(c)) を用いて次を示しなさい。
\lambda_{\max}(A) \geq a_{ii} \geq \lambda_{\min}(A), \quad i = 1, \ldots, n
ただし、いずれかの \( i \) において等号が成り立つのは、すべての \( j = 1, \ldots, n, j \neq i \) に対して \( a_{ij} = a_{ji} = 0 \) のときに限る。例えば \( A = \mathrm{diag}(1,2,3) \) の場合、この条件が成り立っても \( a_{ii} \) が必ずしも \(\lambda_{\max}(A)\) や \(\lambda_{\min}(A)\) に等しいとは限らないことを説明しなさい。
4.2.P4
\( A = [a_{ij}] = [a_1 \ldots a_n] \in M_n \) とし、\(\sigma_1\) を \( A \) の最大特異値とする。前問をエルミート行列 \( A^{*} A \) に適用して次を示しなさい。
\sigma_1 \geq \lVert a_j \rVert_2 \geq |a_{ij}|, \quad i,j = 1, \ldots, n
4.2.P5
\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \) とする。\( A \) の固有値は何か。また、次を求めよ。
\max \left\{ \tfrac{x^T A x}{x^T x} : 0 \neq x \in \mathbb{R}^2 \right\}
\max \Re \left\{ \tfrac{x^{*} A x}{x^{*} x} : 0 \neq x \in \mathbb{C}^2 \right\}
これは (4.2.2) と矛盾するかどうかを考察しなさい。
4.2.P6
\( A \in M_n \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。ここでは \( A \) がエルミートであるとは仮定しない。次を示しなさい。
\min_{x \neq 0} \left| \tfrac{x^{*} A x}{x^{*} x} \right| \leq |\lambda_i| \leq \max_{x \neq 0} \left| \tfrac{x^{*} A x}{x^{*} x} \right|, \quad i=1,2,\ldots,n
また、不等号が厳密になる場合があることを示しなさい。
4.2.P7
ランク・ヌル定理 (0.2.3.1) が部分空間の交わり補題 (0.1.7.1) と (4.2.3) を含意することを示しなさい。
4.2.P8
\( A, B \in M_n \) がエルミート行列であり、\( B \) が半正定値であるとする。また、固有値列 \(\{\lambda_i(A)\}_{i=1}^n\) と \(\{\lambda_i(B)\}_{i=1}^n\) は (4.2.1) のように順序付けられているとする。(4.2.6) を用いて、すべての \( k = 1, \ldots, n \) に対して次を示しなさい。
\lambda_k(A+B) \geq \lambda_k(A)
4.2.P9
(4.2.10) の別証明を与えなさい。ただし、まず (4.2.7) から (b) を導き、次に \(-A\) に対して (b) を適用して (a) を導く方法によること。
注と参考文献.
変分的特徴付け (4.2.2) は、ジョン・ウィリアム・ストラット（第3代レイリー男爵、1904年ノーベル賞受賞、アルゴンの発見者）によって発見された。詳しくは Rayleigh (1945) の第89節を参照のこと。実対称行列の固有値に関する min-max の特徴付け (4.2.6) は、E. Fischer「Über quadratische Formen mit reelen Koeffizienten」（Monatsh. Math. und Physik 16 (1905), 234–249）に登場した。その後、リヒャルト・クーラントによって無限次元作用素に拡張され、彼の古典的著書『Courant and Hilbert (1937)』に組み込まれている。
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