4.2.2
定理 4.2.2（レイリー）.
\(A \in M_n\) がエルミート行列であり、その固有値が (4.2.1) のように順序付けられているとする。
整数 \(i_1, \ldots, i_k\) が \(1 \leq i_1 \lt \cdots \lt i_k \leq n\) を満たすとし、直交規格化されたベクトル \(x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}\) が存在して、それぞれ \(A x_{i_p} = \lambda_{i_p} x_{i_p}\)（\(p = 1, \ldots, k\)）を満たすとする。
また、\(S = \mathrm{span}\{x_{i_1}, \ldots, x_{i_k}\}\) とする。
このとき：
(a)
\lambda_{i_1}
= \min_{\substack{x \neq 0 \\ x \in S}} \frac{x^* A x}{x^* x}
= \min_{\substack{x \in S \\ \|x\|_2 = 1}} x^* A x
\leq \max_{\substack{x \in S \\ \|x\|_2 = 1}} x^* A x
= \max_{\substack{x \neq 0 \\ x \in S}} \frac{x^* A x}{x^* x}
= \lambda_{i_k}
(b) 任意の単位ベクトル \(x \in S\) に対して、\(\lambda_{i_1} \leq x^* A x \leq \lambda_{i_k}\) が成り立つ。右辺の等号成立は \(Ax = \lambda_{i_k}x\) の場合に限られ、左辺の等号成立は \(Ax = \lambda_{i_1}x\) の場合に限られる。
(c) 任意の単位ベクトル \(x \in \mathbb{C}^n\) に対して、\(\lambda_{\min} \leq x^* A x \leq \lambda_{\max}\) が成り立つ。右辺の等号成立は \(Ax = \lambda_{\max}x\) の場合に限られ、左辺の等号成立は \(Ax = \lambda_{\min}x\) の場合に限られる。さらに次が成り立つ：
\lambda_{\max} = \max_{x \neq 0} \frac{x^* A x}{x^* x},
\quad
\lambda_{\min} = \min_{x \neq 0} \frac{x^* A x}{x^* x}
証明.
\(x \in S\) が零でないとき、\(\xi = \frac{x}{\|x\|_2}\) とすれば単位ベクトルであり、
\frac{x^* A x}{x^* x} = \frac{x^* A x}{\|x\|_2^2} = \xi^* A \xi
が成り立つ。任意の単位ベクトル \(x \in S\) に対して、係数 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_k\) が存在して、
x = \alpha_1 x_{i_1} + \cdots + \alpha_k x_{i_k}
と書ける。直交規格性より、
1 = x^* x = \sum_{p,q=1}^k \overline{\alpha_p} \alpha_q \, x_{i_p}^* x_{i_q}
= |\alpha_1|^2 + \cdots + |\alpha_k|^2
となる。このとき、
x^* A x
= (\alpha_1 x_{i_1} + \cdots + \alpha_k x_{i_k})^*
(\alpha_1 \lambda_{i_1} x_{i_1} + \cdots + \alpha_k \lambda_{i_k} x_{i_k})
= |\alpha_1|^2 \lambda_{i_1} + \cdots + |\alpha_k|^2 \lambda_{i_k}
となり、これは実数 \(\lambda_{i_1}, \ldots, \lambda_{i_k}\) の凸結合である。したがって \(x^* A x\) はそれらの最小値 \(\lambda_{i_1}\) と最大値 \(\lambda_{i_k}\) の間にある（付録B参照）。さらに、\(x^* A x = \lambda_{i_k}\) が成立するのは、\(\lambda_{i_p} \neq \lambda_{i_k}\) のときは \(\alpha_p = 0\) であり、すなわち \(x\) が \(\lambda_{i_k}\) に対応する固有ベクトルの場合に限られる。同様の議論により、\(x^* A x = \lambda_{i_1}\) の場合も示される。(c) の主張は \(k = n\) の場合に \(S = \mathbb{C}^n\) となることから従う。◻
(4.2.2(c)) の幾何学的解釈は、\(\lambda_{\max}\) が連続実数値関数 \(f(x) = x^* A x\) の \(\mathbb{C}^n\) の単位球面上での最大値であり、\(\lambda_{\min}\) がその最小値であるということである。この単位球面はコンパクト集合である。
演習. \(A \in M_n\) をエルミート行列、\(x \in \mathbb{C}^n\) を零でないベクトルとし、\(\alpha = \frac{x^* A x}{x^* x}\) とする。このとき、\(A\) の固有値が少なくとも 1 つ、区間 \((-\infty, \alpha]\) に存在し、また少なくとも 1 つ、区間 \([\alpha, \infty)\) に存在することを説明せよ。
エルミート行列の固有値についての議論では、部分空間の交わりに関する次の基本的観察を利用する機会が何度もある。
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