4.1.P21
4.1.問題21
\(n \geq 2\) とし、\(x, y \in \mathbb{C}^n\)、および \(z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\) を与える。次を考える：
エルミート行列 \(A = xy^{*} + yx^{*} = [x \; y][y \; x]^{*}\)、
歪エルミート行列 \(B = xy^{*} - yx^{*} = [x \; -y][y \; x]^{*}\)。
(a) \(A\) の固有値が \(\operatorname{Re}(y^{*}x) \pm \sqrt{ \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Im}(y^{*}x))^2 }\) （\(x\) と \(y\) が一次独立なら1つは正、1つは負）と、さらに \(n-2\) 個のゼロ固有値であることを示せ。
(b) \(B\) の固有値が \(i \left(\operatorname{Im}(y^{*}x) \pm \sqrt{ \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Re}(y^{*}x))^2 }\right)\) であることを示せ。
(c) \(x, y\) が実数ベクトルの場合、\(A\) と \(B\) の固有値はどうなるか。
(d) \(C = [z_i + \overline{z_j}] \in M_n\) の固有値が
\operatorname{Re}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right) \pm \sqrt{ n \sum_{i=1}^n |z_i|^2 - \left(\operatorname{Im}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)\right)^2 }
（すべての \(z_i\) が等しくない場合、1つは正、1つは負）と、さらに \(n-2\) 個のゼロ固有値であることを示せ。
(e) \(D = [z_i - \overline{z_j}] \in M_n\) の固有値は何か。
(f) すべての \(z_i\) が実数のとき、\(C\) と \(D\) の固有値はどうなるか。特別な場合 (1.3.25) および (1.3.26) を用いて確認せよ。
(1.3.25)
任意の \( n \geq 2 \) に対する \( n \times n \) 実対称ハンケル行列。A = [\, i + j \,]_{i,j=1}^{n} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & \cdots \\ 3 & 4 & 5 & \cdots \\ 4 & 5 & 6 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = v e^{\top} + e v^{\top} = [\, v \; e \,][\, e \; v \,]^{\top}
(1.3.26)
任意の \( n \geq 2 \) に対する \( n \times n \) 実反対称テプリッツ行列。A = [\, i - j \,]_{i,j=1}^{n} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & -2 & \cdots \\ 1 & 0 & -1 & \cdots \\ 2 & 1 & 0 & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix} = v e^{\top} - e v^{\top} = [\, v \; -e \,][\, e \; v \,]^{\top}
ヒント
行列 \(xy^*\) や \(yx^*\) は階数1であるため、和や差は高々階数2である。
したがって固有値は高々2つ非零であり、残りは0である。
部分空間 \(\mathrm{span}\{x,y\}\) に制限して 2 次元問題に帰着し、基底 \(\{x,y\}\) に関する表現を求めて固有値を計算する。
解答例
(a) 行列 \(A = xy^* + yx^*\) はエルミートであり、階数は高々2である。したがって固有値は高々2つ非零であり、残り \(n-2\) 個は0である。部分空間 \(\mathrm{span}\{x,y\}\) に制限すると、
A x = x(y^*x) + y(x^*x), \quad A y = x(y^*y) + y(x^*y)
より、この部分空間での表現行列は
\begin{pmatrix}
y^*x & y^*y \\
x^*x & x^*y
\end{pmatrix}
である。この固有値を計算すると、
\operatorname{Re}(y^*x) \pm \sqrt{\lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Im}(y^*x))^2}
となる。
(b) 同様に \(B = xy^* - yx^*\) は歪エルミートであり、同じく階数は高々2である。同様の計算により固有値は
i\left(\operatorname{Im}(y^*x) \pm \sqrt{\lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Re}(y^*x))^2}\right)
である。
(c) \(x, y\) が実ベクトルのとき、\(y^*x = y^{\top}x\) は実数である。したがって (a) の固有値は
y^{\top}x \pm \sqrt{\lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2}
となり、(b) の固有値は純虚数
\pm i \sqrt{\lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (y^{\top}x)^2}
となる。
(d) 行列 \(C = [z_i + \overline{z_j}]\) は
C = ze^* + e z^*
と表せる（ただし \(z = (z_1,\dots,z_n)^{\top}, e = (1,\dots,1)^{\top}\)）。よって (a) の結果を適用して固有値は
\operatorname{Re}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)
\pm \sqrt{n\sum_{i=1}^n |z_i|^2 - \left(\operatorname{Im}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)\right)^2}
と \(n-2\) 個の 0 である。
(e) 同様に
D = ze^* - e z^*
より (b) を適用して固有値は
i\left(\operatorname{Im}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)
\pm \sqrt{n\sum_{i=1}^n |z_i|^2 - \left(\operatorname{Re}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)\right)^2}\right)
と \(n-2\) 個の 0 である。
(f) すべての \(z_i\) が実数のとき、(d) の固有値は
\sum_{i=1}^n z_i \pm \sqrt{n\sum_{i=1}^n z_i^2}
となり、(e) の固有値は
\pm i \sqrt{n\sum_{i=1}^n z_i^2 - \left(\sum_{i=1}^n z_i\right)^2}
となる。これらは (1.3.25)、(1.3.26) の特別な場合と一致する。
行列解析の総本山
総本山の目次📚
記号の意味🔎
コメント