4.1.問題21
4.1.P21
\(n \geq 2\) とし、\(x, y \in \mathbb{C}^n\)、および \(z_1, \ldots, z_n \in \mathbb{C}\) を与える。次を考える：
エルミート行列 \(A = xy^{*} + yx^{*} = [x \; y][y \; x]^{*}\)、歪エルミート行列 \(B = xy^{*} - yx^{*} = [x \; -y][y \; x]^{*}\)。
(a) \(A\) の固有値が \(\operatorname{Re}(y^{*}x) \pm \sqrt{ \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Im}(y^{*}x))^2 }\) （\(x\) と \(y\) が一次独立なら1つは正、1つは負）と、さらに \(n-2\) 個のゼロ固有値であることを示せ。
(b) \(B\) の固有値が \(i \left(\operatorname{Im}(y^{*}x) \pm \sqrt{ \lVert x \rVert^2 \lVert y \rVert^2 - (\operatorname{Re}(y^{*}x))^2 }\right)\) であることを示せ。
(c) \(x, y\) が実数ベクトルの場合、\(A\) と \(B\) の固有値はどうなるか。
(d) \(C = [z_i + \overline{z_j}] \in M_n\) の固有値が
\operatorname{Re}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right) \pm \sqrt{ n \sum_{i=1}^n |z_i|^2 - \left(\operatorname{Im}\left(\sum_{i=1}^n z_i\right)\right)^2 }
（すべての \(z_i\) が等しくない場合、1つは正、1つは負）と、さらに \(n-2\) 個のゼロ固有値であることを示せ。
(e) \(D = [z_i - \overline{z_j}] \in M_n\) の固有値は何か。
(f) すべての \(z_i\) が実数のとき、\(C\) と \(D\) の固有値はどうなるか。特別な場合 (1.3.25) および (1.3.26) を用いて確認せよ。
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