[行列解析4.1.12]定義

4.1.12定義

定義 4.1.12.

行列 \(A \in Mn\) をエルミート行列とし、固有値を \(\lambda_1 \ge \cdots \ge \lambda_n\) と非増加順に並べる。

行列 \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\) とし、単位行列 \(U \in Mn\) が存在して \(A = U \Lambda U^*\) とする。各 \(i = 1, \dots, n\) に対して、\(\lambda_i^+ = \max\{\lambda_i, 0\}\)、\(\lambda_i^- = \min\{\lambda_i, 0\}\) と定める。

また、\(\Lambda^+ = \mathrm{diag}(\lambda_1^+, \dots, \lambda_n^+)\) として \(A^+ = U \Lambda^+ U^*\)、\(\Lambda^- = \mathrm{diag}(\lambda_1^-, \dots, \lambda_n^-)\) として \(A^- = -U \Lambda^- U^*\) とする。

行列 \(A^+\) は \(A\) の正半定値部分（positive semidefinite part）と呼ばれる。

[行列解析4.1]エルミート行列の性質と特徴 (Properties and characterizations of Hermitian matrices)

4.1.1 定義4.1.2

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2025.09.15