[行列解析4.1.11]定義（正定値・半正定値）

4.1.11定義
- 定義 4.1.11.
- 演習.
行列解析の総本山

4.1.11定義

定義 4.1.11.

対称行列 \(A \in M_n(\mathbb{R})\) は、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x \ge 0\) であれば正定値（positive definite）、すべての非零ベクトルに対して \(x^T A x \gt 0\) であれば半正定値（positive semidefinite）、そして、ベクトル \(y, z \in \mathbb{R}^n\) が存在して \(y^T A y \lt 0 \lt z^T A z\) となる場合は不定（indefinite）と呼ばれる。

演習.

なぜ半正定値行列が非特異（nonsingular）である場合に限り正定値となるのか説明せよ。

エルミート行列に関する最後の一般的な観察は、行列 \(A \in M_n\) がエルミートであることと、行列を \(A = B - C\) の形に書けることは同値であり、ここで \(B, C \in M_n\) は半正定値であるということである。この主張の半分は明らかであり、残りの半分は次の定義に依存する。