4.1.9
定義 4.1.9.
行列 \(A \in Mn\) が正定値であるとは、すべての非零ベクトル \(x \in C^n\) に対して \(x^* A x\) が実かつ正であることをいう。
正半定値であるとは、すべての非零ベクトル \(x \in C^n\) に対して \(x^* A x\) が実かつ非負であることをいう。
不定値であるとは、すべてのベクトル \(x \in C^n\) に対して \(x^* A x\) が実であり、さらに \(y, z \in C^n\) が存在して \(y^* A y \lt 0 \lt z^* A z\) となる場合をいう。
演習.
\(A \in Mn\) とし、\(B = A^* A\) とする。次の2通りの方法で \(B\) が正半定値であることを示せ。
(a) A を特異値分解に置き換える。
(b) \(x^* B x = \|Ax\|_2^2\) であることに注目する。
前の定理は、複素行列が正定値（それぞれ半定値）であることは、行列がエルミートであり、かつすべての固有値が正（それぞれ非負）であることと同値であることを述べている。
一部の著者は、正定値または半定値の定義において行列がエルミートであることを仮定に含めている。
この前の定理は、複素行列および複素ベクトルの場合、この仮定は不要であることを示すが、仮定を置いても害はない。
しかし、実行列とそれが生成する実二次形式を考える場合は状況が異なる。
もし \(A \in Mn(\mathbb{R})\) で \(x \in \mathbb{R}^n\) なら、次が成り立つ：
x^T A x = \frac{1}{2} x^T (A + A^T) x
したがって、すべての非零ベクトル \(x \in \mathbb{R}^n\) に対して \(x^T A x > 0\) または \(x^T A x \ge 0\) と仮定すると、これは A の対称部分にのみ条件を課すことになり、反対称部分は制約されない。
したがって、前の定理の実数類似版では対称性の仮定を組み込む必要がある。
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