[行列解析3.5.7]補題

3.5.7補題

補題 3.5.7.

\( A \in M_k \) が非特異であるとする。このとき、置換行列 \( P \in M_k \) が存在して、任意の \( j = 1, \ldots, k \) に対して

\det \big( (P^T A)[\{1, \ldots, j\}] \big) \neq 0

が成り立つ。

証明.

証明は \( k \) に関する帰納法である。

もし \( k = 1 \) または \( k = 2 \) ならば、結果は明らかである。\( k - 1 \) 以下で成立すると仮定する。非特異な \( A \in M_k \) を考え、その最後の列を削除する。残りの \( k - 1 \) 本の列は一次独立であり、したがって \( k - 1 \) 本の一次独立な行を含む。この行を最初の \( k - 1 \) 行に並べ替え、非特異な上側の \((k - 1)\times (k - 1)\) 部分行列に帰納法の仮定を適用する。これにより所望の置換行列 \( P \) が得られ、\( P^T A \) は非特異となる。∎

次の定理で述べる分解は PLU 分解として知られており、その因子は一意である必要はない。