3.5.6系
系 3.5.6
（LDU分解）。行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) を考える。
(a) \( A \) が非特異であると仮定する。このとき、\( A \) が LU 分解 \( A = LU \) を持つのは、任意の \( i = 1, \ldots, n \) に対して部分行列 \( A[\{1, \ldots, i\}] \) が非特異である場合に限る。
(b) 任意の \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( A[\{1, \ldots, i\}] \) が非特異であると仮定する。このとき、\( A = LDU \) と表される。ただし、\( L, D, U \in M_n \)、\( L \) は単位下三角行列、\( U \) は単位上三角行列、\( D = \mathrm{diag}(d_1, \ldots, d_n) \) は対角行列であり、\( d_1 = a_{11} \) である。また
d_i = \frac{\det A[\{1, \ldots, i\}]}{\det A[\{1, \ldots, i-1\}]}, \quad i = 2, \ldots, n
因子 \( L, U, D \) は一意に定まる。
練習問題.
(3.5.2)、(3.5.3)、および前の練習問題を用いて、上の系の証明を詳しく示せ。
練習問題.
もし \( A \in M_n \) が LU 分解を持ち、\( L = [\ell_{ij}] \)、\( U = [u_{ij}] \) とする。このとき
\ell_{11} u_{11} = \det[A[\{1\}]]
\ell_{ii} u_{ii} \det A[\{1, \ldots, i-1\}] = \det A[\{1, \ldots, i\}], \quad i = 2, \ldots, n
を示せ。
次に、非特異な線形方程式系 \( Ax = b \) の解法に戻る。もし \( A \in M_n \) が LU 分解できないが、置換行列 \( P \in M_n \) と下三角行列 \( L \)、上三角行列 \( U \) を用いて \( A = PLU \) と分解できると仮定する。このことは、因数分解を行う前に線形方程式系の式を並べ替えることに相当する。この場合でも、\( Ax = b \) の解法は次のように単純である：
Ly = P^T b, \quad Ux = y
重要な事実として、任意の \( A \in M_n \) はこのように分解でき、しかも \( L \) を非特異とすることができる。したがって、\( Ax = b \) の解は \( Ux = L^{-1} P^T b \) の解と一致する。
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