3.4.3.3系
系 3.4.3.3. \(A \in M_n\) を射影行列（すなわち \(A^2 = A\)）とする。\(A\) の特異値を大きい方から順に
\(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_g > 1 \ge \sigma_{g+1} \ge \cdots \ge \sigma_r > 0 = \sigma_{r+1} = \cdots\)
とおく。ここで \(r=\operatorname{rank}A\) であり、\(g\) は \(1\) より大きい特異値の個数である。すると \(A\) はユニタリ相似により次の直和に同値である：
\begin{bmatrix}
1 & \sqrt{\sigma_1^2-1} \\[4pt]
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix}
1 & \sqrt{\sigma_g^2-1} \\[4pt]
0 & 0
\end{bmatrix}
\oplus I_{r-g} \oplus 0_{\,n-r-g}
証明. \(A\) の最小多項式は \(q_A(t)=t(t-1)\) であるから、\(A\) は対角化可能であり、異なる固有値は \(\lambda_1=1\) と \(\lambda_2=0\) である。これらの固有値の指数は \(q_1=q_2=1\) であり、対応するワイル特性は
w_1(A,1)=r=\operatorname{tr}A,\qquad w_1(A,0)=n-r.
定理 3.4.3.1 により、\(A\) はユニタリ相似で
F=\begin{bmatrix} I_r & F_{12} \\[4pt] 0 & 0_{n-r} \end{bmatrix}
の形をとり、かつ \(F_{12}\) はユニタリ同値のもとで不変である。\(h=\operatorname{rank}F_{12}\) とおき、SVD（特異値分解） \(F_{12}=V\Sigma W^*\) を取る。ここで \(V\in M_r\) と \(W\in M_{n-r}\) はユニタリ、\(\Sigma\in M_{r,n-r}\) は対角の形で対角成分を \(s_1\ge\cdots\ge s_h>0=s_{h+1}=\cdots\) とする。
すると \(F\) はユニタリ同値（具体的には \(V\oplus W\) による置換相似）で
\begin{bmatrix} I_r & \Sigma \\[4pt] 0 & 0_{n-r} \end{bmatrix}
となり、これはさらに置換相似により次の直和に変形される：
\begin{bmatrix} 1 & s_1 \\[4pt] 0 & 0 \end{bmatrix}
\oplus \cdots \oplus
\begin{bmatrix} 1 & s_h \\[4pt] 0 & 0 \end{bmatrix}
\oplus I_{r-h} \oplus 0_{\,n-r-h}.
この行列 \(C\) の特異値（したがって元の \(A\) の特異値）は、\((s_1^2+1)^{1/2},\ldots,(s_h^2+1)^{1/2}\) と、さらに \(r-h\) 個の \(1\) と \(n-r-h\) 個の \(0\) である。したがって \(h=g\) かつ
s_i=\sqrt{\sigma_i^2-1},\qquad i=1,\ldots,g.
以上で主張が示された。■
練習課題.
上の証明の細部を補いなさい。
また、同じサイズの二つの射影がユニタリ相似であることと同値に、それらが同じ特異値を持つこと（ユニタリ同値であること）を示し、(2.6.P18) のアプローチと比較しなさい。
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