3.4.2.10
定理 3.4.2.10. \( A \in M_n \) を与えられた行列とし、その固有値を順序付きで \( \lambda_1, \ldots, \lambda_d \) とする。各固有値 \( \lambda_i \) の指数を \( q_i \)、代数的重複度を \( p_i \) とする。各 \( i = 1, \ldots, d \) に対して、\( w(A, \lambda_i) = (w_1(A,\lambda_i), \ldots, w_{q_i}(A,\lambda_i)) \) を \( \lambda_i \) に対応する \( A \) のウェイル特性とし、\( W_A(\lambda_i) \) を \( \lambda_i \) に対応するウェイルブロックとする。さらに
W_A = W_A(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus W_A(\lambda_d)
を \( A \) のウェイル標準形とし、\( A = S W_A S^{-1} \) とする。
(a) （Belitskii） \( B \in M_n \) が \( A \) と可換であるとする。このとき、
S^{-1} B S = B^{(1)} \oplus \cdots \oplus B^{(d)}
が成り立ち、これは \( W_A \) に整合するブロック対角行列となる。各 \( \ell = 1, \ldots, d \) に対して、
B^{(\ell)} = [ B^{(\ell)}_{ij} ]_{i,j=1}^{q_\ell} \in M_{p_\ell}
と分割でき、各対角ブロックは \( B^{(\ell)}_{jj} \in M_{w_j(A,\lambda_\ell)} \) （\( j = 1, \ldots, q_\ell \)）である。この分割において、\( B^{(\ell)} \) は \( W_A(\lambda_\ell) \) に整合するブロック上三角行列となり、その \( k \) 次上対角ブロックに沿ったブロックは次の関係式で結ばれる：
B^{(\ell)}_{\,j-k-1,\,j-1}
=
\begin{bmatrix}
B^{(\ell)}_{\,j-k,\,j} & 0
\end{bmatrix},
\quad \\
k = 0,1,\ldots,q_\ell-1;\;\\
j = q_\ell, q_\ell-1,\ldots,k+1
(b) （O’Meara と Vinsonhaler） \( \mathcal{F} = \{ A, A_1, A_2, \ldots \} \subseteq M_n \) を可換族とする。このとき、正則行列 \( T \in M_n \) が存在して
T^{-1} \mathcal{F} T = \{ W_A, T^{-1} A_1 T, T^{-1} A_2 T, \ldots \}
は上三角行列族となる。各行列 \( T^{-1} A_i T \) は (3.4.2.11) に整合するブロック対角行列である。もし \( T^{-1} A_i T \) のうち \( W_A(\lambda_\ell) \) に対応する対角ブロックを、サイズ \( w_1(A,\lambda_\ell), w_2(A,\lambda_\ell), \ldots, w_{q_\ell}(A,\lambda_\ell) \) に従って分割すると、その \( k \) 次上対角ブロックに沿ったブロックは (3.4.2.12) と同じ形の関係式に従う。
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