3.3 問題5
3.3.P5
次のグラム–シュミットの手続きの応用により、\( A \in M_n \) の最小多項式を、\( A \) の特性多項式や固有値を知らなくても計算できることを示せ。
(a) 写像 \( T : M_n \to \mathbb{C}^{n^2} \) を次のように定義する。任意の \( A \in M_n \) を、その列ベクトルごとに \( A = [a_1 \ \cdots \ a_n] \) と分割し、\( T(A) \) を次のベクトルとする：最初の \( n \) 成分は第1列 \( a_1 \) の成分、次の \( n \) 成分は第2列 \( a_2 \) の成分、以下同様に並べた長さ \( n^2 \) のベクトル。このとき、\( T \) がベクトル空間 \( M_n \) と \( \mathbb{C}^{n^2} \) の同型写像（線形、単射、全射）であることを示せ。
(b) 次のベクトルを考える：
v_0 = T(I), \quad v_1 = T(A), \quad v_2 = T(A^2), \ \ldots, \ v_k = T(A^k), \ \ldots
\( k = 0, 1, 2, \ldots, n \) に対して \( v_0, v_1, \ldots, v_n \in \mathbb{C}^{n^2} \) を得る。Cayley–Hamilton の定理を用いて、これらのベクトルが一次従属であることを示せ。
(c) ベクトル列 \( v_0, v_1, \ldots, v_n \) にグラム–シュミットの正規直交化を適用し、最初にゼロベクトルが現れるまで続けよ。なぜ必ずゼロベクトルが現れるのかを説明せよ。
(d) もしグラム–シュミット過程において、最初のゼロベクトルが \( k \) 番目で現れるならば、\( k-1 \) が \( A \) の最小多項式の次数であることを論じよ。
(e) グラム–シュミット過程の \( k \) 番目の段階で、次が得られるとする：
\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_{k-1} v_{k-1} = 0
このとき、
T^{-1}(\alpha_0 v_0 + \alpha_1 v_1 + \cdots + \alpha_{k-1} v_{k-1})
= \alpha_0 I + \alpha_1 A + \alpha_2 A^2 + \cdots + \alpha_{k-1} A^{k-1} = 0
となる。したがって、最小多項式は
q_A(t) = \frac{\alpha_{k-1} t^{k-1} + \cdots + \alpha_2 t^2 + \alpha_1 t + \alpha_0}{\alpha_{k-1}}
である。なぜ \(\alpha_{k-1} \neq 0\) なのかを説明せよ。
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