3.2.P28
3.2問題28
\( A, x, y, \lambda \) が (3.2.13.1) の仮定を満たし、(3.2.13.2) が \( A \) のジョルダン標準形であるとする。\( v \in \mathbb{C}^n \) を \( v^*x = 1 \) を満たす任意のベクトルとし、Google 行列 \( A(c) = cA + (1-c)\lambda x v^* \) を考える。もし \( c \neq 0 \) かつ各 \( j = 2, \ldots, n \) について \( c\lambda_j \neq \lambda \) ならば、\( A(c) \) のジョルダン標準形が
[ \lambda ] \oplus J_{n_1}(c\nu_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(c\nu_k)
であることを示せ。(1.2.P21) と比較せよ。
ヒント
条件 \(Ax=\lambda x\) と \(y^{*}A=\lambda y^{*}\) から、\(\lambda\) は右固有値かつ左固有値である。また \(y^{*}x\neq0\) であるため、この固有値に対応するジョルダンブロックは 1 次元である。基底を適切に選ぶと、行列 \(A\) は \( [\lambda] \oplus J_{n_1}(\nu_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\nu_k) \) の形になる。この基底で \(x\) は第1基底ベクトルに対応する。行列 \(A(c)=cA+(1-c)\lambda x v^{*}\) は階数1の摂動であり、第1成分以外のブロックには単に係数 \(c\) が掛かることを確かめればよい。
解答例
仮定より \(Ax=\lambda x\) および \(y^{*}A=\lambda y^{*}\) が成り立ち、さらに \(y^{*}x\neq0\) である。したがって固有値 \(\lambda\) に対応する右固有ベクトルと左固有ベクトルが存在する。
このとき適当な基底をとると、行列 \(A\) はジョルダン標準形
A \sim [\lambda]\oplus J_{n_1}(\nu_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(\nu_k)
と書ける。またこの基底において \(x=e_1\) としてよい。
ここで
A(c)=cA+(1-c)\lambda x v^{*}
を考える。条件 \(v^{*}x=1\) より、行列 \(xv^{*}\) は
xv^{*}=
\begin{pmatrix}
1 & * & \cdots & * \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0
\end{pmatrix}
の形をもつ階数1の行列である。
したがって \(A(c)\) の第1列は
A(c)e_1
= cAe_1+(1-c)\lambda x(v^{*}e_1)
となる。ここで \(Ae_1=\lambda e_1\) および \(v^{*}e_1=v^{*}x=1\) を用いると
A(c)e_1 = c\lambda e_1+(1-c)\lambda e_1 = \lambda e_1
となる。したがって \(\lambda\) は \(A(c)\) の固有値であり、対応する固有ベクトルは \(x\) である。
一方、\(A\) の他の固有値を \(\lambda_2,\ldots,\lambda_n\) とする。仮定より \(c\neq0\) かつ \(c\lambda_j\neq\lambda\) が \(j=2,\ldots,n\) について成り立つ。
このとき \(A(c)\) の残りの部分空間では、階数1の補正項は影響せず、行列は単に \(cA\) と同じ作用をもつ。したがって対応するジョルダンブロックはすべて係数 \(c\) 倍される。
よって \(A(c)\) のジョルダン標準形は
[\lambda]\oplus J_{n_1}(c\nu_1)\oplus\cdots\oplus J_{n_k}(c\nu_k)
となる。
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