3.2.P1
3.2問題1
\( F = \{ A_{\alpha} : \alpha \in I \} \subset M_n \) を添字集合 \( I \) によって添字付けられた行列族とする。ある非退化（nonderogatory）な行列 \( A_0 \in F \) が存在し、すべての \( \alpha \in I \) に対して \( A_{\alpha} A_0 = A_0 A_{\alpha} \) が成り立つと仮定する。
このとき、すべての \( \alpha \in I \) に対して、次数が最大で \( n-1 \) の多項式 \( p_{\alpha}(t) \) が存在して \( A_{\alpha} = p_{\alpha}(A_0) \) が成り立つことを示せ。したがって、\( F \) は可換族である。
ヒント
非退化（nonderogatory）行列とは、最小多項式の次数が \( n \) である行列である。このとき、あるベクトル \( v \) が存在して \( v, A_0 v, A_0^2 v, \ldots, A_0^{n-1} v \) が基底をなす。これを巡回基底（cyclic basis）という。
行列 \( A_\alpha \) が \( A_0 \) と可換、すなわち \( A_\alpha A_0 = A_0 A_\alpha \) を満たすとき、この基底に対する作用を調べると \( A_\alpha \) の作用は \( v \) の像によって完全に決まることがわかる。結果として \( A_\alpha \) は \( A_0 \) の多項式として表される。
解答例
\( A_0 \in M_n \) が非退化であるとする。このとき \( A_0 \) の最小多項式の次数は \( n \) である。したがって、あるベクトル \( v \in \mathbb{C}^n \) が存在して
\{ v, A_0 v, A_0^2 v, \ldots, A_0^{n-1} v \}
が \( \mathbb{C}^n \) の基底となる。この基底を用いて議論する。
仮定より任意の \( \alpha \in I \) に対して \( A_\alpha A_0 = A_0 A_\alpha \) が成り立つ。まずベクトル \( v \) に対する作用を考える。あるスカラー \( c_0,c_1,\ldots,c_{n-1} \) が存在して
A_\alpha v
=
c_0 v + c_1 A_0 v + c_2 A_0^2 v + \cdots + c_{n-1} A_0^{n-1} v
と表せる。
ここで可換性を用いると
A_\alpha A_0^k v = A_0^k A_\alpha v
が成り立つ。したがって上式を用いると
A_\alpha A_0^k v
=
c_0 A_0^k v
+
c_1 A_0^{k+1} v
+
\cdots
+
c_{n-1} A_0^{k+n-1} v
となる。したがって基底 \( v, A_0 v, \ldots, A_0^{n-1} v \) に対する \( A_\alpha \) の作用は、係数 \( c_0,\ldots,c_{n-1} \) によって完全に決まる。
ここで多項式 \( p_\alpha(t) \) を
p_\alpha(t)
=
c_0 + c_1 t + c_2 t^2 + \cdots + c_{n-1} t^{\,n-1}
と定めると、
p_\alpha(A_0)v = A_\alpha v
が成り立つ。また可換性から同様にすべての \( A_0^k v \) に対して
p_\alpha(A_0)A_0^k v = A_\alpha A_0^k v
が従う。基底上で一致するので
A_\alpha = p_\alpha(A_0)
が得られる。ここで \( p_\alpha(t) \) の次数は高々 \( n-1 \) である。
最後に、任意の \( \alpha,\beta \in I \) に対して
A_\alpha = p_\alpha(A_0), \quad A_\beta = p_\beta(A_0)
と書けるので
A_\alpha A_\beta = p_\alpha(A_0)p_\beta(A_0) = p_\beta(A_0)p_\alpha(A_0) = A_\beta A_\alpha
となる。したがって行列族 \( F \) は可換族である。
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