3.2.10
3.2.10 ブロック上三角行列の固有値の指数。行列 \( A \in M_n \) の固有値 \( \lambda \) の指数（Aにおけるλの指数）は、同値に次のいずれかで定義される。(a) 固有値 λ を持つ A の最大のジョルダンブロックのサイズ、または (b) 最小の整数 m = 1, 2, …, n であって、\(\text{rank}(A - \lambda I)^m = \text{rank}(A - \lambda I)^{m+1}\)（したがって全ての k = 1, 2, … に対して \(\text{rank}(A - \lambda I)^m = \text{rank}(A - \lambda I)^{m+k}\) が成り立つ）となる値。
もし \( A_{11} \in M_{n_1} \) における λ の指数が ν1 で、\( A_{22} \in M_{n_2} \) における λ の指数が ν2 であるなら、直和 \( A_{11} \oplus A_{22} \) における λ の指数は \(\max\{\nu_1, \nu_2\}\) である。
演習：次を考える。
A = \begin{pmatrix} J_2(0) & I_2 \\ 0 & J_2(0)^T \end{pmatrix}
各対角ブロックにおける固有値 0 の指数は 2 である。A の固有値 0 の指数が 4 であることを示せ。
ブロック上三角行列
A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}
において、もし λ が \( A_{11} \) または \( A_{22} \) の固有値であり、かつ \( A_{12} \neq 0 \) ならば、A における λ の指数について何が言えるだろうか。便宜上、λ = 0 とする。\( A_{11} \in M_{n_1} \) における λ の指数を ν1、\( A_{22} \in M_{n_2} \) における λ の指数を ν2 とし、m = ν1 + ν2 とする。
A^m =
\begin{pmatrix}
A_{11}^m & \sum_{k=0}^{m} A_{11}^k A_{12} A_{22}^{m-k} \\
0 & A_{22}^m
\end{pmatrix}
ここで \( A_{11}^m = A_{11}^{\nu_1} A_{11}^{\nu_2} = 0 \) および \( A_{22}^m = A_{22}^{\nu_2} A_{22}^{\nu_1} = 0 \)。さらに k = 0, 1, …, n に対して、k ≥ ν1 または m − k ≥ ν2 が成り立つため、各項 \( A_{11}^k A_{12} A_{22}^{m-k} = 0 \) である。したがって \( A^m = 0 \) となり、A における λ の指数は最大でも ν1 + ν2 である。
この議論は帰納法により任意のブロック上三角行列に拡張できる。
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