3.2.9.4
観察 3.2.9.4. \( B \in M_n \) が与えられ、非ゼロの非対角成分が \( p \) 個あるとする。また、そのジョルダン標準形 \( J_B \) が \( r \) 個のジョルダンブロックを含むとする。このとき \( r \geq n - p \) が成り立つ。
証明. \( B \) が \( B_1 \oplus \cdots \oplus B_q \) に置換類似であると仮定する。ただし各 \( B_i \in M_{n_i} \) は置換類似の下で既約（これ以上分解できない）であり、各 \( n_i \geq 1 \) とする。各 \( B_i \) の非ゼロの非対角成分の数は少なくとも \( n_i - 1 \) である。したがって、\( B \) の非ゼロの非対角成分の数は少なくとも
(n_1 - 1) + \cdots + (n_q - 1) = n - q
である。すなわち \( p \geq n - q \) であり、よって \( q \geq n - p \) が従う。さらに (3.2.8) より、\( J_B \) は少なくとも \( q \) 個のジョルダンブロックを含むことが保証される。したがって
r \geq q \geq n - p
が成り立つ。□
最後に観察しておくべきは、\( n \times n \) のジョルダン行列
J = J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_r}(\lambda_r)
に含まれる非ゼロの非対角成分の数は正確に
(n_1 - 1) + \cdots + (n_r - 1) = n - r
であるという事実である。
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