3.2.4.2
定理 3.2.4.2.
\( A \in M_n \) が非退化であるとする。もし \( B \in M_n \) が \( A \) と可換であるならば、次数が高々 \( n-1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \( B = p(A) \) が成り立つ。
証明.
\( A = S J_A S^{-1} \) を \( A \) のジョルダン標準形とする。もし \( BA = AB \) ならば、
B S J_A S^{-1} = S J_A S^{-1} B
したがって、
(S^{-1} B S) J_A = J_A (S^{-1} B S)
となる。もし \( S^{-1} B S = p(J_A) \) を示すことができれば、
B = S p(J_A) S^{-1} = p(S J_A S^{-1}) = p(A)
となり、\( B \) は \( A \) の多項式で表される。したがって、\( A \) をジョルダン行列と仮定すれば十分である。
(a) \( A = J_{n_1}(\lambda_1) \oplus \cdots \oplus J_{n_k}(\lambda_k) \)、ただし \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k\) は相異なる固有値とし、(b) \( A \) が \( B \) と可換であると仮定する。このとき \( B = [B_{ij}]_{i,j=1}^k \) を \( J \) に従って分割すると、式 (2.4.4.2) により \( B = B_{11} \oplus \cdots \oplus B_{kk} \) はブロック対角行列であることが保証される。さらに、それぞれの \( i = 1, 2, \ldots, k \) について、
B_{ii} J_{n_i}(0) = J_{n_i}(0) B_{ii}
が成り立つ。計算により、各 \( B_{ii} \) は次のような上三角テプリッツ行列 (0.9.7) でなければならないことがわかる：
B_{ii} =
\begin{bmatrix}
b^{(i)}_1 & b^{(i)}_2 & \cdots & b^{(i)}_{n_i} \\
& \ddots & \ddots & \vdots \\
& & \ddots & b^{(i)}_2 \\
& & & b^{(i)}_1
\end{bmatrix}
\tag{3.2.4.3}
この行列は \( J_{n_i}(0) \) の多項式であり、したがって \( J_{n_i}(\lambda_i) \) の多項式でもある：
B_{ii} = b^{(i)}_1 I_{n_i} + b^{(i)}_2 J_{n_i}(0) + \cdots + b^{(i)}_{n_i} J_{n_i}(0)^{n_i-1}
\\
= b^{(i)}_1 (J_{n_i}(\lambda_i) - \lambda_i I_{n_i})^0
+ b^{(i)}_2 (J_{n_i}(\lambda_i) - \lambda_i I_{n_i})^1
+ \cdots
+ b^{(i)}_{n_i} (J_{n_i}(\lambda_i) - \lambda_i I_{n_i})^{n_i-1}= b^{(i)}_1 (J_{n_i}(\lambda_i) - \lambda_i I_{n_i})^0
+ b^{(i)}_2 (J_{n_i}(\lambda_i) - \lambda_i I_{n_i})^1
+ \cdots
+ b^{(i)}_{n_i} (J_{n_i}(\lambda_i) - \lambda_i I_{n_i})^{n_i-1}
ここで、次数が高々 \( n-1 \) の多項式 \( p_i(t) \) を構成し、すべての \( i \neq j \) に対して
p_i(J_{n_j}(\lambda_j)) = 0, \quad p_i(J_{n_i}(\lambda_i)) = B_{ii}
を満たすならば、
p(t) = p_1(t) + \cdots + p_k(t)
が定理の主張を満たす。ここで次を定義する：
q_i(t) = \prod_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^k (t - \lambda_j)^{n_j},
\quad \deg q_i(t) = n - n_i
このとき、任意の \( i \neq j \) について、\((J_{n_j}(\lambda_j) - \lambda_j I)^{n_j} = 0\) であるため、
q_i(J_{n_j}(\lambda_j)) = 0
が成り立つ。また、上三角テプリッツ行列 \( q_i(J_{n_i}(\lambda_i)) \) は、その主対角成分 \( q_i(\lambda_i) \neq 0 \) であるため非特異である。
重要なのは、2 つの上三角テプリッツ行列の積が再び上三角テプリッツ行列となり、非特異な上三角テプリッツ行列の逆行列も同じ形をもつことである (0.9.7)。したがって、
[q_i(J_{n_i}(\lambda_i))]^{-1} B_{ii}
は上三角テプリッツ行列であり、従って \( J_{n_i}(\lambda_i) \) の多項式である：
[q_i(J_{n_i}(\lambda_i))]^{-1} B_{ii} = r_i(J_{n_i}(\lambda_i))
ここで \( r_i(t) \) は次数が高々 \( n_i - 1 \) の多項式である。したがって多項式
p_i(t) = q_i(t) r_i(t)
は次数が高々 \( n-1 \) であり、
p_i(J_{n_j}(\lambda_j)) = 0 \quad (i \neq j),
\qquad
p_i(J_{n_i}(\lambda_i)) = B_{ii}
が成り立つ。よって定理は示された。
この定理には逆の命題も存在する（3.2.P2 参照）。(3.2.4.2) の応用例として、(3.2.3.1) の特別な場合における強化版が得られる。
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