3.2.4
3.2.4 可換性と非退化行列（nonderogatory matrices）。
任意の多項式 \( p(t) \) と任意の \( A \in M_n \) に対して、\( p(A) \) は常に \( A \) と可換です。
では逆はどうでしょうか？すなわち、\( A, B \in M_n \) が与えられ、もし \( A \) が \( B \) と可換であるなら、ある多項式 \( p(t) \) が存在して \( B = p(A) \) と書けるでしょうか？
常にそうなるとは限りません。
例えば \( A = I \) とすると、\( A \) はあらゆる行列と可換しますが、\( p(I) = p(1)I \) はスカラー行列であり、非スカラー行列は \( I \) の多項式として表せません。
問題は、\( A \) の形が多くの行列と可換である一方で、生成できるのは \( p(A) \) の形をした限られた行列集合にすぎない点にあります。
では、もし \( A = J_m(\lambda) \) がサイズ 2 以上の単一のジョルダンブロックである場合、何が言えるでしょうか？
演習.
\(\lambda \in \mathbb{C}\)、整数 \( m \geq 2 \) が与えられているとします。\( B \in M_m \) が \( J_m(\lambda) \) と可換するのは、\( J_m(0) \) と可換する場合に限ることを示しなさい。ヒント: \( J_m(\lambda) = \lambda I_m + J_m(0) \)。
演習.
\( B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} \in M_2 \) が \( J_2(0) \) と可換するのは、\( b_{21} = 0 \) かつ \( b_{11} = b_{22} \) の場合に限ることを示しなさい。この場合に限り、\( B = b_{11} I_2 + b_{12} J_2(0) \) となり、これは \( J_2(0) \) の多項式である。
演習.
\( B = [b_{ij}] \in M_3 \) が \( J_3(0) \) と可換するのは、\( B \) が上三角行列であり、\( b_{11} = b_{22} = b_{33} \)、さらに \( b_{12} = b_{23} \) である場合に限ることを示しなさい。すなわち、この場合に限り、\( B \) は上三角テプリッツ行列 (0.9.7) である。このとき \( B = b_{11} I_3 + b_{12} J_3(0) + b_{13} J_3(0)^2 \) となり、これは \( J_3(0) \) の多項式である。
演習.
\( B = [b_{ij}] \in M_4 \) が \( J_4(0) \) と可換する場合について、何が言えるでしょうか？
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