[行列解析3.1.P23]

3.1問題23

3.1.P23

行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が三重対角行列であり、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \) が実数であるとする。

(a) \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ正であるとき、\( A \) が \( n \) 個の相異なる実固有値をもつことを示せ。

(b) \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ非負であるとき、\( A \) の固有値はすべて実数であることを示せ。

(c) 各 \( a_{ii} = 0 \) であり、かつ \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ負であるとき、(a) から \( A \) が \( n \) 個の相異なる純虚数の固有値をもつことを導け。さらに、それらの固有値は ± のペアで現れるので、もし \( n \) が奇数なら \( A \) は特異行列となることを示せ。