3.1問題19
3.1.P19
\( x, y \in \mathbb{R}^n \)、\( t \in \mathbb{R} \) が与えられたとする。上三角行列を次のように定める：
A_{x,y,t} =
\begin{bmatrix}
1 & x^T & t \\
0 & I_n & y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \in M_{n+2}(\mathbb{R})
そして \( H_n(\mathbb{R}) = \{ A_{x,y,t} : x,y \in \mathbb{R}^n, \, t \in \mathbb{R} \} \) とする。 (a) \( A_{x,y,t} A_{\xi,\eta,\tau} = A_{x+\xi,\, y+\eta,\, t+\tau} \) および \( (A_{x,y,t})^{-1} = A_{-x,-y,-t} \) を示せ。 (b) \( H_n(\mathbb{R}) \) が、対角成分がすべて +1 の \( M_{n+2}(\mathbb{R}) \) の上三角行列群の部分群（これを n 次のハイゼンベルグ群と呼ぶ）である理由を説明せよ。 (c) \( A_{x,y,t} \) のジョルダン標準形が、もし \( x^T y ≠ 0 \) なら \( J_3(1) \oplus I_{n-1} \) であり、もし \( x^T y = 0 \) なら以下のいずれかであることを説明せよ：
・\( x ≠ 0, y ≠ 0 \) の場合： \( J_2(1) \oplus J_2(1) \oplus I_{n-2} \)
・\( x = 0 \) または \( y = 0 \)（ただし両方でない）場合： \( J_2(1) \oplus I_n \)
・\( x = y = 0 \) の場合： \( I_{n+2} \)
(d) \( A_{x,y,t} \) が常にその逆行列と相似である理由を説明せよ。
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