[行列解析3.1.P12]

3.1問題12

3.1.P12

\(A\in M_n\) をとり、正の整数 \(k,p\) を与える。\(w_k=w_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2,\dots\)）、\(s_k=s_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2,\dots\)）を、それぞれ固有値 \(\lambda\) に関する Weyr 特性と Segre 特性とする。次を示しなさい：

(a) \(s_{w_k}\ge k\) ただし \(w_k \gt 0\)。

(b) \(k \gt s_{w_k+1}\) がすべての \(k=1,2,\dots\) で成り立つ。

(c) \(w_{s_k}\ge k\) ただし \(s_k \gt 0\)。

(d) \(k \gt w_{s_k+1}\) がすべての \(k=1,2,\dots\) で成り立つ。

(e) \(s_k \ge p \gt s_{k+1}\) が成り立つことと、\(w_p=k\) が成り立つことは同値であることを説明しなさい。

(f) 次の三つの主張が同値であることを示しなさい：

1. \(s_k \ge p \gt p-1 \gt s_{k+1}\)。
2. \(s_k \ge p \gt s_{k+1}\) かつ \(s_k \ge p-1 \gt s_{k+1}\)。
3. \(p\ge 2\) かつ \(w_p=w_{p-1}=k\)。

(g) \(s_k \gt s_{k-1} \gt s_{k+1}\) が成り立つことと、ジョルダン標準形にサイズ \(s_k-1\) のブロック \(J_{s_k-1}(\lambda)\) が存在しないことは同値であることを説明しなさい。

(h) 次の四つの主張が同値であることを示しなさい：

1. \(s_k-s_{k+1}\ge 2\)。
2. \(s_k=s_k \ge s_{k-1} \gt s_{k+1}\)。
3. \(p=s_k \ge 2\) かつジョルダン標準形にサイズ \(p-1\) のブロック \(J_{p-1}(\lambda)\) が存在しない。
4. \(p=s_k \ge 2\) かつ \(w_p=w_{p-1}=k\)。

[行列解析3.1]ジョルダン標準形の定理

3.13.1.1 定義(3.1.2)J_1(\lambda) = , \quadJ_2(\lambda) =\begin{bmatrix}\lambda & 1 \0 & \lambda\end{bmatrix}(3.1.3)J = J_...

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2025.09.03