[行列解析3.1.P11]

3.1問題11

1.P11

(3.1.15)

\begin{align} & r_k(A,\lambda) = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^k, \notag \quad \\ & r_0(A,\lambda) := n \notag \end{align}

(3.1.16) Weyr特性

\begin{align} & w_k(A,\lambda) = r_{k-1}(A,\lambda) - r_k(A,\lambda), \notag \\ & w_1(A,\lambda) := n - r_1(A,\lambda) \notag \end{align}

与えられた固有値に対応する行列の Weyr 特性は、点図（Ferrers 図や Young 図とも呼ばれる）で表すことができます。例えば、(3.1.16a) のジョルダン行列 \(J\) と、その Weyr 特性 \(w(J,0)=(w_1,w_2,w_3)\) を考えます。

これに基づき、1 行目に \(w_1\) 個、2 行目に \(w_2\) 個、3 行目に \(w_3\) 個の点を置き、次の点図を作ります（\(w_k=0\) となる \(k\ge 4\) で打ち切ります）。

\begin{array}{ccccccc} w_1 & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ w_2 & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \\ w_3 & \bullet & \bullet & & & & \\ & s_1 & s_2 & s_3 & s_4 & s_5 & s_6 \end{array}

左から各列の長さを数えると \(3,3,2,2,2,1\) となり、これが Segre 特性 \(s_k=s_k(J,0)\)（\(k=1,2,\dots,6\)）です。

つまり \(J\) は \(J_3(0)\) が 2 個、\(J_2(0)\) が 3 個、\(J_1(0)\) が 1 個あります。

逆に、まず各列に \(s_1,s_2,\dots\) 個の点を置いて点図を作れば、行ごとに\(w_1,w_2,w_3\) 個の点が並びます。

このように Segre 特性と Weyr 特性は、同じ和 \(n\) に対する共役分割（conjugate partition）となり、点図を介して一方から他方を導くことができます。

一般に \(A\in M_n\) とし、\(A\) の固有値 \(\lambda\) に対して Weyr 特性 \(w_k(A,\lambda)\) を用い、行 \(k=1,2,\dots\) に \(w_k(A,\lambda)\) 個の点を置いて点図を作る（ただし \(w_k(A,\lambda)\gt 0\) の間のみ続ける）。

(a) 各列 \(j=1,2,\dots\) に \(s_j(A,\lambda)\) 個の点がある理由を説明しなさい。

(b) Segre 特性から列を構成し、それを読み取って行ごとの点数（Weyr 特性）を得られる理由を説明しなさい。