3.1問題集
3.1.P1
（3.1.4）を証明するための計算の詳細を補いなさい。
J_k(0)^T J_k(0) =
\begin{bmatrix}
0 & 0 \\
0 & I_{k-1}
\end{bmatrix}
\left(I_k - J_k(0)^T J_k(0)\right)x = (x^T e_1)e_1
3.1.P2
（3.0.0）にある2つの行列のジョルダン標準形は何か。
A =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix},\quad
B =
\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
3.1.P3
\(A \in M_n\) が非実成分を含むが、固有値は実数のみであるとする。\(A\) が実行列と相似であることを示しなさい。相似を与える行列を実行列に選べる場合はあるか。
3.1.P4
\(A \in M_n\) とする。ある複素数 \(c\) が \(|c|\neq 1\) を満たし、\(A\) が \(cA\) と相似であると仮定せよ。すると \(\sigma(A)=\{0\}\) であり、したがって \(A\) は冪零であることを示しなさい。逆に、\(A\) が冪零なら、任意の \(0\neq c\in \mathbb{C}\) に対して \(A\) は \(cA\) と相似であることを示しなさい。
3.1.P5
各ジョルダンブロック \(J_k(\lambda)\) は固有値 \(\lambda\) に対して一次元の固有空間をもつことを説明しなさい。これより、\(\lambda\) の幾何学的重複度は 1、代数的重複度は \(k\) であると結論づけなさい（\(\lambda\) を \(J_k(\lambda)\) の固有値とみなす）。
3.1.P6
（3.1.11）の証明の3つの手順を実行して、次の行列のジョルダン標準形を求めなさい。また（3.1.18）を用いて答えを確認しなさい。
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
および
\begin{bmatrix}
3 & 1 & 2 \\
0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{bmatrix}
3.1.P7
\(A \in M_n\)、\(\lambda\) を \(A\) の固有値、\(k \in \{1,\ldots,n\}\) とする。\(r_{k-1}(A,\lambda) - 2\,r_k(A,\lambda) + r_{k+1}(A,\lambda)\) が、固有値 \(\lambda\) をもち大きさ \(k\) のジョルダンブロックの個数に等しいことを説明しなさい。
3.1.P8
\(A \in M_n\) とし、\(\operatorname{rank} A = r \ge 1\) かつ \(A^2=0\) と仮定する。前問または（3.1.18）を用いて、\(A\) のジョルダン標準形が \(J_2(0)\oplus\cdots\oplus J_2(0)\oplus 0_{\,n-2r}\)（\(2\times 2\) ブロックが \(r\) 個）であることを示しなさい。（2.6.P23）と比較せよ。
3.1.P9
\(n\ge 3\) とする。\(J_n(0)^2\) のジョルダン標準形を求めよ。\(n=2m\)（偶数）のとき \(J_m(0)\oplus J_m(0)\)、\(n=2m+1\)（奇数）のとき \(J_{m+1}(0)\oplus J_m(0)\) になることを示しなさい。
3.1.P10
任意の \(\lambda\in \mathbb{C}\) と任意の正整数 \(k\) に対し、\(-J_k(\lambda)\) のジョルダン標準形が \(J_k(-\lambda)\) であることを示しなさい。特に、\(-J_k(0)\) のジョルダン標準形は \(J_k(0)\) である。
3.1.P11
\begin{align}
& r_k(A,\lambda) = \operatorname{rank}(A - \lambda I)^k, \notag \quad \\
& r_0(A,\lambda) := n \notag
\end{align}\begin{align}
& w_k(A,\lambda) = r_{k-1}(A,\lambda) - r_k(A,\lambda), \notag \\
& w_1(A,\lambda) := n - r_1(A,\lambda) \notag
\end{align}与えられた固有値に対応する行列の Weyr 特性は、点図（Ferrers 図や Young 図とも呼ばれる）で表すことができます。例えば、(3.1.16a) のジョルダン行列 \(J\) と、その Weyr 特性 \(w(J,0)=(w_1,w_2,w_3)\) を考えます。
これに基づき、1 行目に \(w_1\) 個、2 行目に \(w_2\) 個、3 行目に \(w_3\) 個の点を置き、次の点図を作ります（\(w_k=0\) となる \(k\ge 4\) で打ち切ります）。
\begin{array}{ccccccc}
w_1 & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
w_2 & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \\
w_3 & \bullet & \bullet & & & & \\
& s_1 & s_2 & s_3 & s_4 & s_5 & s_6
\end{array}左から各列の長さを数えると \(3,3,2,2,2,1\) となり、これが Segre 特性 \(s_k=s_k(J,0)\)（\(k=1,2,\dots,6\)）です。
つまり \(J\) は \(J_3(0)\) が 2 個、\(J_2(0)\) が 3 個、\(J_1(0)\) が 1 個あります。
逆に、まず各列に \(s_1,s_2,\dots\) 個の点を置いて点図を作れば、行ごとに\(w_1,w_2,w_3\) 個の点が並びます。
このように Segre 特性と Weyr 特性は、同じ和 \(n\) に対する共役分割（conjugate partition）となり、点図を介して一方から他方を導くことができます。
一般に \(A\in M_n\) とし、\(A\) の固有値 \(\lambda\) に対して Weyr 特性 \(w_k(A,\lambda)\) を用い、行 \(k=1,2,\dots\) に \(w_k(A,\lambda)\) 個の点を置いて点図を作る（ただし \(w_k(A,\lambda)\gt 0\) の間のみ続ける）。
(a) 各列 \(j=1,2,\dots\) に \(s_j(A,\lambda)\) 個の点がある理由を説明しなさい。
(b) Segre 特性から列を構成し、それを読み取って行ごとの点数（Weyr 特性）を得られる理由を説明しなさい。
3.1.P12
\(A\in M_n\) をとり、正の整数 \(k,p\) を与える。\(w_k=w_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2,\dots\)）、\(s_k=s_k(A,\lambda)\)（\(k=1,2,\dots\)）を、それぞれ固有値 \(\lambda\) に関する Weyr 特性と Segre 特性とする。次を示しなさい：
(a) \(s_{w_k}\ge k\) ただし \(w_k \gt 0\)。
(b) \(k \gt s_{w_k+1}\) がすべての \(k=1,2,\dots\) で成り立つ。
(c) \(w_{s_k}\ge k\) ただし \(s_k \gt 0\)。
(d) \(k \gt w_{s_k+1}\) がすべての \(k=1,2,\dots\) で成り立つ。
(e) \(s_k \ge p \gt s_{k+1}\) が成り立つことと、\(w_p=k\) が成り立つことは同値であることを説明しなさい。
(f) 次の三つの主張が同値であることを示しなさい：
- \(s_k \ge p \gt p-1 \gt s_{k+1}\)。
- \(s_k \ge p \gt s_{k+1}\) かつ \(s_k \ge p-1 \gt s_{k+1}\)。
- \(p\ge 2\) かつ \(w_p=w_{p-1}=k\)。
(g) \(s_k \gt s_{k-1} \gt s_{k+1}\) が成り立つことと、ジョルダン標準形にサイズ \(s_k-1\) のブロック \(J_{s_k-1}(\lambda)\) が存在しないことは同値であることを説明しなさい。
(h) 次の四つの主張が同値であることを示しなさい：
- \(s_k-s_{k+1}\ge 2\)。
- \(s_k=s_k \ge s_{k-1} \gt s_{k+1}\)。
- \(p=s_k \ge 2\) かつジョルダン標準形にサイズ \(p-1\) のブロック \(J_{p-1}(\lambda)\) が存在しない。
- \(p=s_k \ge 2\) かつ \(w_p=w_{p-1}=k\)。
3.1.P13
正の整数 \(k,m\) を与え、次のブロック・ジョルダン行列を考えます。
\begin{align}
&J_k^+(\lambda I_m)
:= \notag \\
&\begin{bmatrix}
\lambda I_m & I_m & 0 & \dots & 0 \\
0 & \lambda I_m & I_m & \dots & 0 \\
\vdots & & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \dots & 0 & \lambda I_m & I_m \\
0 & \dots & 0 & 0 & \lambda I_m
\end{bmatrix}\in M_{km} \notag
\end{align}
この行列 \(J_k^+(\lambda I_m)\) の Weyr 特性を計算し、それを用いて、この行列のジョルダン標準形が \(J_k(\lambda)\oplus\cdots\oplus J_k(\lambda)\)（\(m\) 個の直和）であることを示しなさい。
3.1.P14
\(A\in M_n\) とする。式 (3.1.18) を用いて \(A\) と \(A^{\mathrm T}\) が相似であることを示しなさい。さらに、\(A\) と \(A^\ast\) が相似であるかどうかを論じなさい。
3.1.P15
\(n\ge 2\)、非ゼロベクトル \(x,y\in\mathbb{C}^n\) を与え、\(A=xy^\ast\) とする。
(a) \(A\) のジョルダン標準形は \(B\oplus 0_{n-2}\) であり、もし \(y^\ast x \neq 0\) なら
B=\begin{pmatrix} y^\ast x & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},
であり、\(y^\ast x=0\) の場合は \(B=J_2(0)\) となることを示しなさい。
(b) なぜランク 1 の行列は、そのトレースが非ゼロであることと同値に対角化可能であるのかを説明しなさい。
3.1.P16
ここで λ ≠ 0 かつ k ≥ 2 とする。
このとき \( J_k(\lambda)^{-1} \) は \( J_k(\lambda) \) の多項式で表される (2.4.3.4)。
(a) \( J_k(\lambda)^{-1} \) が上三角トープリッツ行列であり、その主対角成分がすべて \( \lambda^{-1} \) であることを説明せよ。
(b) \( J_k(\lambda)^{-1} \) の第1行が \([ \lambda^{-1}, a_2, \ldots, a_n ]\) であるとする。
\( J_k(\lambda)J_k(\lambda)^{-1} \) の (1,2) 成分が \( \lambda a_2 + \lambda^{-1} \) であることを確認し、さらに \( J_k(\lambda)^{-1} \) の第1超対角成分がすべて \(-\lambda^{-2}\) である理由を説明せよ。
特に、これらの成分はすべて 0 でない。
(c) \(\mathrm{rank}( (J_k(\lambda)^{-1} - \lambda^{-1} I)^k ) = n-k\) が \( k = 1, \ldots, n \) について成り立つことを示し、\( J_k(\lambda)^{-1} \) のジョルダン標準形が \( J_k(\lambda^{-1}) \) である理由を説明せよ。
3.1.P17
\( A \in M_n \) が正則であると仮定する。
\( A \) が \( A^{-1} \) と相似であることと、\( A \) の固有値 λ について λ ≠ ±1 の場合に、ジョルダン標準形における \( J_k(\lambda) \) 型ブロックの数が \( J_k(\lambda^{-1}) \) 型ブロックの数と等しいことは同値であることを示せ。
すなわち、λ ≠ ±1 の場合にはブロック \( J_k(\lambda) \) と \( J_k(\lambda^{-1}) \) が対になって現れる（固有値が ±1 の場合のブロックには制約はない）。
3.1.P18
\( A \in M_n \) が正則であると仮定する。
(a) もし \( A \) の各固有値が +1 または −1 であるならば、\( A \) は \( A^{-1} \) と相似である理由を説明せよ。
(b) 正則な \( B, C, S \in M_n \) が存在して、\( A = BC, \; B^{-1} = S B S^{-1}, \; C^{-1} = S C S^{-1} \) が成り立つと仮定する。このとき \( A \) が \( A^{-1} \) と相似であることを示せ。
3.1.P19
\( x, y \in \mathbb{R}^n \)、\( t \in \mathbb{R} \) が与えられたとする。上三角行列を次のように定める：
A_{x,y,t} =
\begin{bmatrix}
1 & x^T & t \\
0 & I_n & y \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \in M_{n+2}(\mathbb{R})
そして \( H_n(\mathbb{R}) = \{ A_{x,y,t} : x,y \in \mathbb{R}^n, \, t \in \mathbb{R} \} \) とする。 (a) \( A_{x,y,t} A_{\xi,\eta,\tau} = A_{x+\xi,\, y+\eta,\, t+\tau} \) および \( (A_{x,y,t})^{-1} = A_{-x,-y,-t} \) を示せ。 (b) \( H_n(\mathbb{R}) \) が、対角成分がすべて +1 の \( M_{n+2}(\mathbb{R}) \) の上三角行列群の部分群（これを n 次のハイゼンベルグ群と呼ぶ）である理由を説明せよ。 (c) \( A_{x,y,t} \) のジョルダン標準形が、もし \( x^T y ≠ 0 \) なら \( J_3(1) \oplus I_{n-1} \) であり、もし \( x^T y = 0 \) なら以下のいずれかであることを説明せよ：
・\( x ≠ 0, y ≠ 0 \) の場合： \( J_2(1) \oplus J_2(1) \oplus I_{n-2} \)
・\( x = 0 \) または \( y = 0 \)（ただし両方でない）場合： \( J_2(1) \oplus I_n \)
・\( x = y = 0 \) の場合： \( I_{n+2} \)
(d) \( A_{x,y,t} \) が常にその逆行列と相似である理由を説明せよ。
3.1.P20
\( A \in M_n \) で \( n > \mathrm{rank}(A) \geq 1 \) と仮定する。もし \(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(A^2)\)、すなわち 0 が \( A \) の半単純固有値であるなら、\( A \) がランク主成分行列であることを示せ。（詳細は (0.7.6) を参照。特殊な場合については (2.5.P48) および (4.1.P30) を参照。）
3.1.P21
\( A \in M_n \) が既約でない上ヘッセンベルグ行列であるとする（(0.9.9) 参照）。 (a) \( A \) の各固有値 λ に対して \( w_1(A, \lambda) = 1 \) であり、したがって \( A \) は非退化（nonderogatory）である理由を説明せよ。 (b) もし \( A \) が対角化可能（たとえばエルミートかつ三重対角行列である場合）なら、\( A \) が n 個の異なる固有値を持つ理由を説明せよ。
3.1.P22
\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) が三重対角行列であるとする。 (a) もし \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \gt 0 \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) のすべてについて成り立つなら、\( A \) が n 個の異なる実固有値を持つことを示せ。 (b) もし \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \geq 0 \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) のすべてについて成り立つなら、\( A \) の固有値がすべて実数であることを示せ。
3.1.P23
行列 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) が三重対角行列であり、すべての \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} \) が実数であるとする。
(a) \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ正であるとき、\( A \) が \( n \) 個の相異なる実固有値をもつことを示せ。
(b) \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ非負であるとき、\( A \) の固有値はすべて実数であることを示せ。
(c) 各 \( a_{ii} = 0 \) であり、かつ \( a_{i,i+1} a_{i+1,i} \) が \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して実数かつ負であるとき、(a) から \( A \) が \( n \) 個の相異なる純虚数の固有値をもつことを導け。さらに、それらの固有値は ± のペアで現れるので、もし \( n \) が奇数なら \( A \) は特異行列となることを示せ。
3.1.P24
次の 4×4 行列を考える：
\( A = [A_{ij}]_{i,j=1}^2, \; B = [B_{ij}]_{i,j=1}^2 \) とし、
A_{11} = A_{22} = B_{11} = B_{22} = J_2(0), \\
\quad A_{21} = B_{21} = 0_2,
A_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},
\quad B_{12} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}.
(a) 任意の \( k = 1, 2, \ldots \) に対して、\( A^k \) と \( B^k \) は 0-1 行列（各要素が 0 または 1）であり、1 の要素数が同じであることを示せ。
(b) \( A \) と \( B \) が冪零かつ相似である理由を説明せよ。そのジョルダン標準形は何か。
(c) 2つの置換相似な 0-1 行列が、同じ数の 1 の要素を持つ理由を説明せよ。
(d) \( A \) と \( B \) が置換相似でないことを示せ。
3.1.P25
(3.1.11) を用いて、\( A \in M_n \) が対角化可能であるための必要十分条件は、各固有値 \( \lambda \) に対して次が成り立つことであることを示せ：
x \in \mathbb{C}^n, \quad \\
(A - \lambda I)^2 x = 0 \implies (A - \lambda I)x = 0
3.1.P26
\( A \in M_n \) が正規行列であるとする。前問を用いて、定義 (2.5.1) から \( A \) が対角化可能であることを導け。ただしスペクトル定理 (2.5.3) は用いないこと。
3.1.P27
\( A \in M_n \) が正規行列であるとする。前問および QR 分解 (2.1.14) を用いて、\( A \) がユニタリ対角化可能であることを示せ。
3.1.P28
\( A, B \in M_n \) とする。\( A \) と \( B \) が相似であることと、すべての固有値 \( \lambda \) と \( k = 1, \ldots, n \) に対して
\text{rk}(A, \lambda) = \text{rk}(B, \lambda)
が成り立つことが同値であることを示せ。
3.1.P29
\( A \in M_k \) が上三角行列であり、各 \( i = 1, \ldots, n \) に対して \( a_{ii} = 1 \)、各 \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して \( a_{i,i+1} \neq 0 \) とする。
このとき \( A \) が \( J_k(1) \) に相似であることを示せ。
3.1.P30
\( A \in M_n \) の唯一の固有値が \( \lambda = 1 \) であるとする。
このとき、任意の \( k = 1, 2, \ldots \) に対して \( A \) が \( A^k \) に相似であることを示せ。
Notes and Further Readings.
カミーユ・ジョルダンは 1870 年に『Traité des Substitutions et des Équations Algébriques』(Gauthier-Villars, Paris) にて、自身の名を冠した標準形を発表した（第 157 節, pp.125–126）。
(3.1.11) の証明は、R. Fletcher と D. Sorensen による “An algorithmic derivation of the Jordan canonical form,” Amer. Math. Monthly 90 (1983), 12–16 の精神に従っている。
組合せ論的アプローチについては、R. Brualdi, “The Jordan canonical form: An old proof,” Amer. Math. Monthly 94 (1987), 257–267 を参照せよ。
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