0.8.2 余因子行列（Adjugate）と逆行列
\( A \in M_n(F) \), \( n \geq 2 \) とします。行列 \( A \) の余因子の転置行列（余因子行列、または古典的随伴行列）は次で与えられます：
\mathrm{adj}\, A = \left( (-1)^{i+j} \det A_{\{j\}^c, \{i\}^c} \right)
たとえば、
\mathrm{adj}\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
行列式のラプラス展開を用いると、余因子行列は以下の基本的な性質を持ちます：
(\mathrm{adj}\, A) A = A (\mathrm{adj}\, A) = (\det A) I
したがって、\( A \) が正則ならば \( \mathrm{adj}\, A \) も正則であり、
\det(\mathrm{adj}\, A) = (\det A)^{n-1}
\( A \) が正則なとき、
\mathrm{adj}\, A = (\det A) A^{-1}, \quad A^{-1} = \frac{1}{\det A} \mathrm{adj}\, A
たとえば、
\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1}
= \frac{1}{ad - bc}
\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
\quad \text{（ただし } ad \ne bc\text{）}
特に、\( \mathrm{adj}(A^{-1}) = A / \det A = (\mathrm{adj}\, A)^{-1} \) となります。
\( A \) が特異（正則でない）で rank \( A \leq n - 2 \) のとき、\( n-1 \) 次の小行列の行列式はすべてゼロになり、
\mathrm{adj}\, A = 0
一方、rank \( A = n - 1 \) のとき、いくつかの \( (n-1) \) 次小行列はゼロでないため \( \mathrm{adj}\, A \ne 0 \) かつ rank \( \mathrm{adj}\, A \geq 1 \) となります。
さらに、\( A \) の \( n-1 \) 個の列が線形独立であることから、\( (\mathrm{adj}\, A) A = 0 \) より null 空間の次元は少なくとも \( n-1 \)、すなわち rank \( \mathrm{adj}\, A = 1 \) となります。
full-rank 分解（0.4.6(e)）により、ある \( \alpha \ne 0 \in F \), \( x, y \in F^n \setminus \{0\} \) に対して：
\mathrm{adj}\, A = \alpha x y^T
このとき、次が成り立ちます：
A x = 0, \quad y^T A = 0
つまり、\( x \) は \( A \) の、\( y \) は \( A^T \) の 1 次元零空間のベクトルとして（スカラー倍を除いて）定まります。
写像 \( A \mapsto \mathrm{adj}\, A \) は連続関数であり、\( \mathrm{adj}\, A \) の各成分は \( A \) の成分の多項式です。また、任意の行列は正則行列の極限として得られるため、逆行列の性質と連続性により以下が導かれます：
\mathrm{adj}(AB) = \mathrm{adj}(B)\, \mathrm{adj}(A) \quad \text{for all } A, B \in M_n
任意のスカラー \( c \in F \) に対して、
\mathrm{adj}(cA) = c^{n-1} \mathrm{adj}\, A
特に、\( \mathrm{adj}(cI) = c^{n-1}I \)、\( \mathrm{adj}(0) = 0 \) です。
\( A \) が正則ならば：
\mathrm{adj}(\mathrm{adj}\, A) = (\det A)^{n-2} A
また、\( A + B \) が正則であるとき：
A\, \mathrm{adj}(A+B)\, B = B\, \mathrm{adj}(A+B)\, A
行列 \( A, B \in M_n \) が可換で、かつ \( A \) が正則なとき、\( A^{-1} \) も \( B \) と可換であり、それにより \( \mathrm{adj}\, A \) も \( B \) と可換になります。
この関係は \( A \) が特異な場合も連続性により成り立ちます。
上三角行列 \( A = [a_{ij}] \) に対して、\( \mathrm{adj}\, A = [b_{ij}] \) も上三角であり、各対角成分は：
b_{ii} = \prod_{j \ne i} a_{jj}
また、対角行列であれば余因子行列も対角です。
さらに、余因子行列は行列式の勾配の転置になっています：
\mathrm{adj}\, A = \left( \frac{\partial}{\partial a_{ij}} \det A \right)^T
これにより、\( A \) が正則なとき：
\left( \frac{\partial}{\partial a_{ij}} \det A \right)^T = (\det A) A^{-1}
さらに次も成り立ちます：
\mathrm{adj}(A^T) = (\mathrm{adj}\, A)^T, \quad \mathrm{adj}(A^*) = (\mathrm{adj}\, A)^*
次の記法を導入します：
A \leftarrow_i b = [a_1 \ldots a_{i-1}\, b\, a_{i+1} \ldots a_n]
すなわち、\( A \leftarrow_i b \) は \( A \) の第 \( i \) 列を \( b \) に置き換えた行列です。ラプラス展開（0.3.1.1）により、次が成り立ちます：
\det(A \leftarrow_i b) = (\mathrm{adj}\, A)\, b_i
このベクトル恒等式を \( C = [c_1 \ldots c_n] \in M_n(F) \) の各列に適用すると、次の行列恒等式が得られます：
\det(A \leftarrow_i c_j)_{i,j=1}^n = (\mathrm{adj}\, A) C
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