[行列解析0.7.4]Sherman–Morrison–Woodbury 公式

0.7.4 Sherman–Morrison–Woodbury 公式

可逆行列 \(A \in M_n(F)\) があり、その逆行列 \(A^{-1}\) が既知であるとします。ここで、

B = A + XRY

と定義し、\(X\) は \(n \times r\)、\(Y\) は \(r \times n\)、\(R\) は可逆な \(r \times r\) 行列とします。\(B\) および \(R^{-1} + Y A^{-1} X\) が可逆であれば：

B^{-1} = A^{-1} - A^{-1} X (R^{-1} + Y A^{-1} X)^{-1} Y A^{-1}

\(r \ll n\) の場合、この公式は実用的で、\(B\) を直接反転するより効率的です。特に、\(x, y \in F^n\) が非零ベクトルで、\(X = x\)、\(Y = y^T\)、\(R = [1]\)、\(y^T A^{-1} x \neq -1\) とすると：

(A + x y^T)^{-1} = A^{-1} - \frac{1}{1 + y^T A^{-1} x} A^{-1} x y^T A^{-1}

特に、\(B = I + x y^T\)、\(y^T x \neq -1\) のとき：

B^{-1} = I - \frac{1}{1 + y^T x} x y^T