[行列解析0.7.2]重要公式：分割、ブロック行列、積の計算

0.7.2 分割、ブロック行列、積の計算

集合 \( \{1, \ldots, m\} \) の分割を \( \alpha_1, \ldots, \alpha_t \)、
集合 \( \{1, \ldots, n\} \) の分割を \( \beta_1, \ldots, \beta_s \) とすると、

行列 \( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) は次の部分行列で分割されます：

A[\alpha_i, \beta_j],\quad 1 \leq i \leq t,\ 1 \leq j \leq s

\( A \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \)、\( B \in \mathbb{M}_{n,p}(F) \) があり、
どちらの行列も中間の次元 \( n \) に対して同じ分割を持つ場合、
これらの分割は適合（conformal）していると言います。

このとき、行列積 \( AB \) の部分行列 \( (AB)[\alpha_i, \gamma_j] \) は次のように計算されます：

(AB)[\alpha_i, \gamma_j] = \sum_{k=1}^{s} A[\alpha_i, \beta_k] B[\beta_k, \gamma_j]

右辺の各項は通常の行列積です。つまり、適合分割された行列の積は、通常の行列積を模倣する形になります。

同様に、サイズが等しく、かつ同じ行列の分割を持つ行列 \( A, B \in \mathbb{M}_{m,n}(F) \) に対して、和も次のように表せます：

(A + B)[\alpha_i, \beta_j] = A[\alpha_i, \beta_j] + B[\alpha_i, \beta_j]

行と列が順序分割されているとき、そのような行列をブロック行列（block matrix）と呼びます。

たとえば、\( A \in \mathbb{M}_n(F) \) の行と列が

\alpha_1 = \{1, \ldots, k\},\quad \alpha_2 = \{k+1, \ldots, n\}

で分割されているとすると、次のような 2×2 ブロック行列となります：

A = \begin{bmatrix} A[\alpha_1, \alpha_1] & A[\alpha_1, \alpha_2] \\ A[\alpha_2, \alpha_1] & A[\alpha_2, \alpha_2] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}

このようなブロック行列による計算は、本書全体で頻繁に利用されます。特に、2×2のブロック行列が最も重要で有用です。