[行列解析0.6.2]直交性と直交正規性

0.6.2 直交性と直交正規性
行列解析の総本山

0.6.2 直交性と直交正規性

ベクトル \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が \( \langle x, y \rangle = 0 \) を満たすとき、直交しているといいます。2次元および3次元実空間では、これは幾何学的に「垂直」を意味します。

ベクトル列 \( x_1, \ldots, x_m \in \mathbb{C}^n \) が異なる添字 \( i \neq j \) に対してすべて \( \langle x_i, x_j \rangle = 0 \) を満たすとき、その列は直交列です。直交かつすべてのベクトルが非ゼロであれば、そのベクトル列は線形独立です。

ノルムが1であるベクトルは「正規化されている（単位ベクトル）」と呼ばれます。非ゼロベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) に対して \( x / \|x\|_2 \) は単位ベクトルです。

直交ベクトル列の各要素が単位ベクトルであるとき、それは直交正規列（orthonormal list）と呼ばれます。これは線形独立でもあります。これらの概念はすべて、内積空間に自然に拡張されます。