0.3.6 行列式の関数的特徴づけ（Functional characterization of the determinant）
行列式を行（または列）のそれぞれを固定して他を変数とした関数と考えると、ラプラス展開（式 (0.3.1.1)）から、行列式は任意の特定の行（または列）の要素に関して線形関数であることがわかります。この性質は、関数 \( A \mapsto \det A \) が行（列）に関して多重線形（multilinear）であると言い表せます。
行列式関数 \( A \mapsto \det A \) は、唯一つの関数 \( f : M_n(F) \to F \) であって、以下の条件を満たします：
- 引数の行に関して多重線形である。
- 交代的（alternating）である：タイプ1の行操作（行の入れ替え）を行うと \( f(A) \) の符号が変わる。
- 正規化されている（normalized）：単位行列に対して \( f(I) = 1 \) を満たす。
なお、パーマネント（permanent）関数も多重線形であり正規化されていますが、交代的ではありません。他の一般化された行列関数も同様です。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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